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[Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïde

Posté par
Sai-kun
09-06-08 à 20:05

Bonjour,

Un petit exercice en guise de révisions pour le bac.

Chapitres: Limites,Continuité,Dérivation

---------------------------------------------------
\blue\fbox{1} Dans un repère orthonormal direct, soit A le point de coordonnées (1;0), la droite d'équation x=1 et le cercle de centre A de rayon 1.

a)Soit d une droite d'équation \fbox{y=tx} avec t un réel positif, on appelle I1 et I2 les points d'intersection de d avec et
Exprimer en fonction de t les coordonnées de I1 et I2.

b)Soit M le point tel que \fbox{\vec{OM}=\vec{I_1I_2}}
Exprimer en fonction de t les coordonnées x et y de M.

c)Exprimer t en fonction de l'abscisse x de M, puis démontrer que \red\fbox{y=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}



\blue\fbox{2}Soit f la fcontion définie sur ]-1;1[ par \fbox{f(x)=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}

a)Etudier le sens de variation de f sur ]-1;1[ (on pourra vérifier que le signe de f' est le même que celui de -x²-x-1 sur ]-1;1[ )

b)Démontrer que la courbe représentative de f notée C admet une asymptote verticale.

c) f est-elle dérivable en 1? Préciser la tangente à C au point A(1;0).

d)Construire la courbe C dans un repère d'unités graphiques 2cm.


\blue\fbox{3}Soit g la fonction définie sur ]-1;1[ par \fbox{g(x)=-f(x)}

Construire la courbe C' de la fonction g dans le même repère que C.

Info:La réunion de C' et C est appelée strophoïde.
---------------------------------------------------


Bonne réflexion.

édit Océane : forum modifié

Posté par
_Estelle_
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:21

Bonsoir

C'est un exo de bac, ça ?

Estelle

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:22

Bonjour _Estelle_

C'est effectivement un sujet type bac (il vient de mon prof.)

Posté par
_Estelle_
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:24

OK, je m'y mettrai tout à l'heure

Merci, c'est bien utile pour les dernières mises au point

Estelle

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:24

C'est avec plaisir!

Posté par
yoyodada
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:41

pour la question 1:

1)a. Delta inter d:
x = 1
y = tx , donc y = t, x = 1  ---> I1 (1;t)

Gamma inter d:
(x-1)² + y² = 1
y = tx   , donc x²-2x +1 +t²x² = 1, donc x²(1+t²) -2x = 0
Donc x[(1+t²)x-2] = 0, donc x = 0 ou x = 2/(1+t²)

donc I2 (0,0) ou I2' ( 2/(1+t²);2t/(1+t²) )
(est ce normal qu'il y ait 2 pts d'intersection ?)

b. M(x;y)
OM (x;y) = I1I2 ( 2/(1+t²) - 1; 2t/(1+t²) - t)
donc x = (1 - t²)/(1+t²)  et y = (t - t^3)/(1+t²)

c. donc x = (1 - t²)/(1+t²), donc (1+t²)x = 1 - t²
donc t²(x+1) = 1-x, donc t = racine[ (1-x)/(1+x) ]
Comme y = t*(1-t²)/(1+t²) = t*x,
alors y = x * racine[ (1-x)/(1+x) ]

je crois pas m'être trompé cependant je trouve un résultat qui cloche à la 2.

Posté par
yoyodada
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:52

c'est résolu: c'est une erreur d'énoncé !

2)f(x) = x * racine[ (1-x)/(1+x) ]

f'(x) = 1* racine[ (1-x)/(1+x) ] + x * (-2 / (1+x)²) / 2racine [ (1-x)/(1+x) ]
f'(x) = [2 * (1-x)/(1+x) - 2x/(1+x)² ] / 2racine[ (1-x)/(1+x) ]

f'(x) = [2*(1-x)(1+x) - 2x ]/[ (1+x)² * 2racine[ (1-x)/(1+x) ] ]
or 2racine[ (1-x)/(1+x) ] positif pour x dans ]-1;1[
de même que (1+x)²

donc f' est du signe de 2*(1-x)(1+x) - 2x donc de 2 -2x² -2x donc de -x² - x + 1. (et non -x²-x-1)
le signe de -x² -x + 1 est positif entre -1 et 0,61803(environ) et négatif entre 0,61803 et 1 , donc f croît et décroit suivant que -x² - x + 1 est négatif ou positif.

b) lim f(x) quand x--> -1 :
x + 1 ---> 0, et x - 1 --> -2, donc racine[ (x-1)/(x+1)] --> + oo, donc f(x) --> - oo.
Donc x = -1 est une asymptote à la courbe.

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 20:56

Mea culpa c'est bien -x²-x+1  encore désolé de cette étourderie.

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 21:12

yoyodada > il n'y pas deux possibilités pour I_2 mais bien une seule!

d'ailleurs tu remarqueras que 3$ \fbox{\lim_{t\to +\infty} \frac{2}{1+t^2}=\lim_{t\to +\infty} \frac{2t}{1+t^2}=0}

(0;0) n'est donc pas le couple solution!

Posté par
yoyodada
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 22:00

pour la 2.c)

lim(h--> 0-) f(1+h) - f(1) / h
= lim(h--> 0-) (1+h)*racine[ -h/2+h] / h

= lim(h--> 0-) (1+h) * racine(-h) / [(racine(-h)*racine(-h)*racine(2+h) ]
= lim(h--> 0-) (1+h) / racine[-h²-2h]

or 1+h --> 1 quand h --> 0-
et -h² - 2h --> 0 quand h--> 0-
donc racine[-h²-2h] --> 0

donc (1+h) / racine[-h²-2h] --> +oo donc f n'est pas dérivable en 1.
Sa tangente est verticale donc, d'équation x = 1

Posté par
mikayaou
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 09-06-08 à 23:47

bonsoir

en polaire, itou :

[Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 00:01

Bonsoir mikayaou,

jolie! je l'avais en cartésienne sous la forme d'un "huit allongé" (c'est à dire un 8 qui prend la pose "infini" ).

Posté par
mikayaou
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 00:11

y'a ka demander, Sai-kun

[Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 00:14

Oui, je l'a reconnais là!

Merci des images.

Posté par
mikayaou
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 00:22

c'est une des rares courbes anallagmatiques telles le cercle ou la lemniscate de Bernoulli...

Posté par
mikayaou
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 08:11

y'avait également en x(t);y(t) :

[Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd

Posté par
simon92
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 08:34

ca m'a l'air bien calculatoire comme exercice

Posté par
Sai-kun
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 10:59

simon92 , à quoi ça sert de poster ici si tu ne veux pas le faire personne ne t'y obliges!

Posté par
mikayaou
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 11:03

Posté par
simon92
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 11:17

je n'ai donc pas le droit de poster

Posté par
TiT126
re : [Terminale S:Révisions Bac]Etude d'une courbe: La strophoïd 10-06-08 à 12:04

Salut,

J'ai fait la partie un, je trouve comme yoyodada, je trouve l'exercice intéressant

Si on fait une figure on s'aperçoit que le couple (0;0) est bien solution, en effet, la droite d est linéaire donc elle passe par zéro quand au cercle da centre (1;0) et de rayon 1, il est claire qu'il passe par (0;0).

Il y'a a donc belle est bien deux solutions, car sinon la droite d serait tangente au cercle

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