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Niveau Licence Maths 1e ann
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Théorème de Sylow

Posté par
charline34090
29-04-16 à 11:20

Bonjour à tous

Je pensai avoir bien compris le théorème de Sylow mais je constate qu'il me manque une notion et j'ai beau me creuser la tête je ne vois pas ce qui va vous paraître logique je pense ! Je m'en suis rendue compte en faisant cet exercice je vous note l'énoncé ainsi que mes réponses pour que vous puissiez bien comprendre.

Exercice : Soit G un groupe d'ordre 30. On suppose que G ne possède pas de sous groupe distingué d'ordre 5. Montrez que G à 24 éléments d'ordre 5.

Ma réponse :
On a lGl = 30 = 15x2 = 3x5x2. Selon le théorème de Slow :

\left\lbrace\begin{matrix}
 \\ N5\equiv 1(5) & \\ 
 \\ N5\mid 6& 
 \\ \end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\lbrace\begin{matrix}
 \\ 5 \mid N5 - 1 & \\ 
 \\ N5\mid 6& 
 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow  N5  \epsilon\begin{Bmatrix}1 ,6\end{Bmatrix}
 \\

L'hypothèse " G ne possède pas de sous-groupe distingué d'ordre 5" implique que N5 est différents de 1, donc N5=6.

Comme 5 est premier, ses sous-groupes sont cycliques, et tout élément différent du neutre est générateur.

Jusque là tout va bien !

Correction du prof : Donc l'intersection de deux sous-groupes distincts est réduite au neutre, et G possède 6x4=24 éléments d'ordre 5.

Je n'arrive pas à comprendre le "4" du 6x4=24.. Le 6 ok pas de problème mais le 4 ?
En l'écrivant je me demande si ça ne se déduit pas que l'on soit dans les 5-sylows et vu que l'intersection de deux sous-groupes distincts est réduite au neutre, il ne nous reste plus que quatre possibilités, donc 6x4.. Je crois que j'ai trouvé ma solution en vous posant la question ...

Si quelqu'un pouvait me confirmer ça serait sympa !

Merci d'avance

Posté par
Recomic35
re : Théorème de Sylow 29-04-16 à 13:37

Ben oui. L'intersection de deux 5-Sylow différents est réduite au neutre, donc un élément d'ordre 5 ne peut appartenir qu'à un seul 5-Sylow.

Posté par
charline34090
re : Théorème de Sylow 08-05-16 à 13:52

Merci beaucoup de m'avoir éclairée

Posté par
Recomic35
re : Théorème de Sylow 08-05-16 à 14:16

9 jours à la vitesse de la lumière, tu dois être très loin !

Posté par
charline34090
re : Théorème de Sylow 08-05-16 à 14:19

J'étais pas du tout dispo effectivement



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