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théorèms de Cayley-Hamilton
Bonjour!
Je suis en train de reviser pour mon partiel d'algèbre et il y a un théorème que je ne comprends pas bien (voir quasiment rien...
)
je dois calculer An pour A=|4 -3 -3|
|3 -2 -3|
|3 -3 -2|
de deux manières différentes ( par diagonalisation et par utilisation du theoreme de Cayley-Hamilton)
par la méthode de diagonalisation je trouve
An= | 2-(-2)n -1+(-2)n -1+(-2)n |
|1-(-2)n (-2)n -1+(-2)n |
|1-(-2)n -1+(-2)n (-2)n |
quant à la méthode par le théorème je ne sais même pas par où commencer
voilà la seule chose que je sais d'après le cours:
théorème de C-H : soit E un espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E , de polynome caracterisique P(X)=det(f-XId). Alors P(f)=0
Voilà, je ne comprends vraiment pas 
Merci d'avance...
Bonjour,
le théorème est claire, si P(X) est le polynôme caractéristique de A, alors P(A)=0.
A partir de la, tu es capable d'avoir A^k ou k est l'ordre de la matrice, en fonction de A^(k-1),A^(k-2),etc.
Et donc c'est facile d'obtenir A^n pour tout n.
Salut !
Le théorème de Cayley Hamilton dit que toute matrice de M_n(K) annule son polynôme caractéristique.
Ici, ce dernier s'écrit :
On a donc :
Maintenant, effectue la divison euclidienne de Xn par .
Bon courage.
Merci beaucoup.
Pour ma part quand je calcule P(X) je ne trouve pas de 'moins' mais juste X3-3X+2 mais j'ai du faire une erreur quelque part.
Pour la division euclidienne ca fait longtemps que je n'en ai plus fait mais je vais m'y remettre
Et je tenais aussi a vous dire un grand merci pour la qualité de vos réponses et ce site m'a été très utile pour mon partiel de demain ( sachant que par manque de temps nous avons fait en cours à peine la moitié des TD qu'on aura au partiels ...)
Bonsoir.
Fais la division enclidienne de Xn par X3 - 3X + 2
Remarque également que X3 - 3X + 2 = (x+2)(x-1)²
oui mais le problème c'est que je ne sais pas comment on fait et j'ai rien dans mes cours et sur internet je ne trouve rien non plus pour faire une division euclidienne comme ca
Il existe un quotient Q(X) et un reste R(X) tels que :
Xn = (X3-3X²+2).Q(X) + R(X) avec R = 0 ou deg(R) < 3.
On peut donc écrire que :
Xn = (X3-3X²+2).Q(X) + anX² + bn.X + cn (E)
Où an, bn, cn sont trois constantes à trouver.
Quel rapport avec ton exercice ? Si tu remplaces X par la matrice A dans (E), tu auras :
An = an.A² + bn.A + cn.I ce qui est bien le résultat demandé.
Comment faire pour trouver an, bn, cn ?
On remarque que (E) s'écrit aussi :
Xn = (X-1)²(X+2).Q(X) + anX² + bn.X + cn
Donc, en remplaçant X par -2 et par 1, on trouvera deux équations en an, bn, cn.
Pour la troisième équation, dérive (E) et remplace X par 1.
Super
alors j'obtiens
an+bn+cn=1 (pour X=1)
4an-2bn+cn=(-2)n (pour X=-2)
-3+2an+bn=1 (après dérivation)
Est -ce que c'est normal que j'ai (-2)n encore ? parce que ça complique pas mal les calculs des coefficients après ( par exemple pour an j'ai an=((-2)n+11)/9
Normal : il vaudrait mieux que tu retrouves le même résultat par les deux méthodes. Comme par la première tu as trouvé des (-2)n ...
Histoire que tu puisses vérifier tes calculs, je trouve (enfin Maple trouve) :
Après, à toi de voir si tu te sens le courage de faire la somme
(on retrouve exactement ton résultat avec l'autre méthode)
Bonne soirée à tous 
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