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Niveau Licence Maths 1e ann
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théorie des groupes(2)

Posté par
robby3
17-10-08 à 18:43

Bonsoir tout le monde,voici un exercice trés classique,que je voudrais etre sur de comprendre...

Citation :
Soit G un groupe d'élément neutre e.
On considere deux éléments a et b de G tq ab=ba
a)On suppose a et b d'ordre fini
Montrer que ab est d'ordre fini et que l'ordre de ab divise le ppcm de l'ordre de a et de b
b)On suppose que <a>\cap <b>=\{e\}
Montrer que ab est d'ordre fini ssi a et b le sont et qu'alors l'ordre de ab=ppcm de l'ordre de a et de b
c)soit a\in G, a\neq e
On suppose a d'ordre fini,en considérant b=a^{-1},montrer que le résultat du b) peut-etre faux si on enleve l'hypothese <a>\cap <b>=\{e\}
d)Soient a et b deux élément de G dont les ordres sont finis et premiers entre eux.Montrer que l'ordre de ab est égal au produit des ordres de a et de b


>pour a),voilà ce que je raconte(je préviens que je ne suis pas du tout sur)
a d'ordre fini w(a),b d'ordre fini w(b)
donc si je prend ab^{w(a).w(b)} alors ab est bien d'ordre fini et alors clairement,w(ab)/w(a) et w(ab)/w(b) donc w(ab)/ppcm(w(a),w(b))

>pour b)
ab d'ordre fini donc\exist k tel que:
(ab)^k=e <=> a^k.b^k=1<=> a^k=b^{-k} =>a^k=b^{-k}\in <a>\cap <b>=\{e\}
or tout élément de <a>\cap <b> possede un ordre w qui divise w(a) et w(b) par Lagrange
et comme <a>\cap <b>=\{e\},on a:

(ab)^k=e <=> a^k.b^k=1<=>a^k=b^k=1 <=>\{w(a)/k et w(b)/k\}<=> ppcm(w(a),w(b))/k
d'ou finalement
w(ab)=ppcm(w(a),w(b))

>donc aprés c) est ok vu que a\neq e

et pour d) d'aprés b),forcément w(ab)=w(a).w(b) car ppcm(w(a),w(b))=w(a).w(b)


est-ce que je raconte n'importe quoi?

Posté par
lolo217
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 20:00

Euh bon ...

a) (ab)w(a)w(b)=e  oui ça c'est bon car  a  et  b commutent . Ensuite ça se gâte un peu. Donc w(ab) divise  w(a)w(b) c'est tout .

Par contre  (ab)ppcm(a,b)=e  aussi  pour la même raison donc  w(ab) divisise ppcm(a,b)

Rappel Si  x  est d'ordre  r  alors les entiers  k  tels que  xk=e  sont les multiples de  r

Posté par
robby3
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 20:03

Bonsoir lolo!
d'accord

Posté par
lolo217
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 20:04

b)  ok sauf qu'il n'est pas nécessaire d'écrire des équivalences fausses là où des implications vraies suffisent  lol .

c)
d) ok  mais rédigé un peu rapidement tu as vu qu'on avait bien les hypothèses ?

e) Question subsidiaire : prouve qu'il existe quand même dans G un élément d'ordre  ppcm(a,b) !

Posté par
robby3
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 20:18

Citation :
tu as vu qu'on avait bien les hypothèses ?

>oui

Citation :
e) Question subsidiaire : prouve qu'il existe quand même dans G un élément d'ordre  ppcm(a,b) !

>faut utiliser la décompoistion en facteur premier et l'écriture du ppcm en fonction de cette décomposition?
cad je prend un élément x dans G fini.
je regarde son ordre que je décompose en produit de facteur premier...

Posté par
robby3
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 21:26

en relisant,j'ai dit c) ok,mais je le vois plus...
ce n'était donc pas si clair...

Posté par
lolo217
re : théorie des groupes(2) 17-10-08 à 23:15

e)  oui c'est l'idée ...de départ

c)  a. a-1=e  qui est d'ordre 1 donc pas tellement égal au ppcm de ordre de a et de son inverse

Posté par
robby3
re : théorie des groupes(2) 18-10-08 à 11:08

ah oui!
ok pour la c)

je rédige la e) enfin,j'essaie...

Soit x_i un élément de G
w(x_i) l'ordre de x_i dans G:

w(x_i)=p_1^{\alpha_1i}...p_k^{\alpha_ki} ou les p_i sont premiers entre eux.

On a N=ppcm(\{w(x_i),i\in[|1,n|]\})=\Bigprod_{i,j=1}^k p_j^{Sup_i(\alpha_ij)}

mais là,il faut montrer l'existence d'un élément d'ordre p_{j}^{Sup_i(\alpha_ij)} pour chaque p_j...alors en multipliant ces éléments entre eux et en utilisant la question d),on aura bien un élément d'ordre N
je montre pour j=1:

je note \alpha=Sup_i(\alpha_1i},\exists x\in G tel que:

w(x)=p_1^{\alpha}.p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}
alors:
(x^{p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}})^p_1^{\alpha}=e
 \\
et y=x^{p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}} sera un élément d'ordre w(y) diviseur de p_1^{\alpha}
soit w(y)=p_1^t ou t\le \alpha
si on avait t<\alpha,alors y^t=e ce qui est absurde,donc w(y)=p_1^{\alpha}
 \\
on fait pareil pour tout les autres j...et on doit avoir le résultat...
je me suis peut-etre embrouillé avec les indices!



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