Je ne vois pas trop le lien entre la première et la deuxième phrase.
Pour la première, réponse bateau ; dans le cas d'un espace topologique, le site est la catégorie des ouverts de l'espace topologique, et les recouvrements sont les recouvrements ouverts usuels. Pour une topologie de Grothendieck, on autorise les ouverts à sortir de l'espace.

Si on a un espace topologique le site associé contient bien toute l'information topologique de l'espace. Comment voir que c'est aussi le cas pour un topos ? Dans "Récoltes et semailles", que j'avais lu à une époque où je ne savais pas ce qu'était un topos, Grothendieck disait qu'on pouvait retrouver l'information topologique du site grâce à la donnée du topos (quelque chose comme ça). Malgoire m'avait aussi expliqué ça il y a quelques temps mais je n'avais pas pris de notes.

Des sites différents peuvent donner le même topos, du moins des topos équivalents.
Si on connaît la catégorie sous-jacente et le foncteur dans le topos des faisceaux pour la topologie de Grothendieck , on peut sûrement récupérer : ses recouvrements sont les familles de flèches qui deviennent épimorphiques dans le topos.