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Niveau Maths sup
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Transposée

Posté par
marcellus
28-02-09 à 12:09

Bonjour !

J'ai quelques petits problèmes pour faire le lien entre les tranposées et les matrices inversibles. Enfin, voici mes questions (ce sera plus clair) :

Soit B = t(A) la transposée de A.

J'ai réussi à montrer que :
Pour tout complexe z, B - zI est inversible <=> A - zI est inversible.

Par contre, je n'arrive pas à  :
* conclure que A et B ont les mêmes valeurs propres.
* trouver une base du sous-espace propre de B associé à une valeur propre k de B.

Merci de votre aide

Posté par
infophile
re : Transposée 28-02-09 à 12:53

Bonjour ;

Une application inversible, que peux-tu dire de son noyau ?

Posté par
infophile
re : Transposée 28-02-09 à 13:20

Bon je précise un peu :

On a aussi B-zI non inversible <=> A-zI non inversible.

On a donc Ker(B-zI) et Ker(A-zI) non réduit à 0, donc z est valeur propre commune à A et B.

Posté par
marcellus
re : Transposée 28-02-09 à 13:24

Bonjour infophile et merci de ton aide.

J'ai bien compris grâce à toi, merci.

Pour la deuxième question, je ne vois pas trop ce que je dois chercher ou faire en fait... Tu pourrais m'expliquer ?

Posté par
marcellus
re : Transposée 28-02-09 à 13:38

Oups, j'ai oublié de préciser que :

C =

( 0 ... ... ... 0 -a0 )
( 1 0 0 ... ... 0 -a1 )
( 0 1 0 ... ... 0 -a2 )
( 0 0 1 ... ... 0 -a3 )
( ... ... ... ... ... )
( 0 0 ... ... 0 1 -a(n-1) )

avec a0, a1, ..., a(n-1) complexes quelconques.

Posté par
infophile
re : Transposée 28-02-09 à 13:41

A quoi correspond cette matrice C ?

Posté par
marcellus
re : Transposée 28-02-09 à 16:03

C'est A pardon...

Posté par
infophile
re : Transposée 28-02-09 à 17:12

Bon alors déjà tu transposes A puisque nous celle qui nous intéresse c'est B.

Tu as donc 4$ \fbox{B=\begin{pmatrix}0&1&0&0&\cdots&0&0\\0&0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1&0\\0&0&0&0&\cdots&0&1\\-a_0&-a_1&-a_2&-a_3&\cdots&-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

Soit k une valeur propre de B, on cherche les vecteurs propres associés donc on écrit le système :

4$ \blue \fbox{BX=kX\Longleftright \begin{pmatrix}0&1&0&0&\cdots&0&0\\0&0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1&0\\0&0&0&0&\cdots&0&1\\-a_0&-a_1&-a_2&-a_3&\cdots&-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}

Tu effectues le produit matriciel et tu obtiens le système : 4$ \red \fbox{x_1=kx_0\\x_2=kx_1\\\vdots\\x_{n-1}=kx_{n-2}\\-(a_0x_0+a_1x_1+\cdots a_{n-1}x_{n-1})=kx_{n-1}}

Tu remarques que 3$ \red x_0\neq 0 sinon X est le vecteur nul, ce qui est exclu.

Et donc tu vois que les vecteurs propres sont de la forme : 4$ \fbox{X=x_0\begin{pmatrix}1\\k\\k^2\\\vdots\\k^{n-2}\\k^{n-1}\end{pmatrix}}

Remarque : La dernière ligne du système te permet aussi de montrer que 3$ P(k)=03$ \fbox{P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}+X^n}.

Ce qui est normal car c'est le polynôme caractéristique de B qui est la matrice compagnon.

Posté par
infophile
re : Transposée 28-02-09 à 18:34

Je te fais également remarquer que bien qu'ici nous avons montrer explicitement que les sous-espaces propres E_k étaient de dimension 1, il était possible de prévoir ce résultat avant.

En effet si tu considères la matrice 4$ \fbox{B-kI_n=\begin{pmatrix}-k&1&0&0&\cdots&0&0\\0&-k&1&0&\cdots&0&0\\0&0&-k&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1&0\\0&0&0&0&\cdots&-k&1\\-a_0&-a_1&-a_2&-a_3&\cdots&-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}

La matrice extraite privée de la dernière ligne et la dernière colonne est inversible car de déterminant 3$ \red \fbox{(-k)^{n-1}\neq 0}.

On a donc 3$ \rm \fbox{rg(B-kI_n)\ge n-1} mais B-kI_n n'est pas inversible donc 4$ \rm \blue \fbox{rg(B-kI_n)=n-1}.

On a applique alors le théorème du rang : 3$ \rm \fbox{n=dim \underbrace{Ker(B-kI_n)}_{E_k}+rg(B-kI_n)} et on en conclut 4$ \rm \red \fbox{dim(E_k)=1}

Posté par
marcellus
re : Transposée 28-02-09 à 21:04

Wahou, merci beaucoup pour toutes ces explications, c'est parfait merci encore...

Un grand merci infophile, bonne soirée et bon week end à toi !

Posté par
infophile
re : Transposée 01-03-09 à 20:37

Je t'en prie



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