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Niveau seconde
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Triangle rectangle

Posté par
SamR
24-09-10 à 16:52

Bonjours,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à faire l'exercice suivant ?

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8cm et AC = 4cm. Soit M un point du segment [AB] et AM = x.
N est un point de [BC] et P un point de [AC] tel que AMNP soit un rectangle.

Soit F la fonction qui a chaque x associe l'aire du rectangle AMNP.

Question 1: Quel est l'ensemble de définition de F ?

Question 2: Montrer que f(x) = \frac{1}{2}x(8-x).

Question 3.a: Verifier que f(x) = -\frac{1}{2}(x-4)2+8

Question 3.b: En déduire que l'aire du triangle AMNP est maximale pour une position particulière du point M que l'on précisera.

Triangle rectangle

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 17:08

Bonjour,

AMNP est un rectangle MN AP

tu peux utiliser Thalès pour trouver MN:

   MB/AB = MN\AC

puis l'aire du rectangle

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 17:40

\frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC} c'est-à-dire \frac{8-x}{8}=\frac{MN}{4} soit MN = \frac{8-x*4}{8}
donc MN = -4x
C'est bien ca ?

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 17:46

le début est bon

4$\rm \frac{MN}{4} = \frac{8-x}{8}

4$\rm MN = \frac{4(8-x)}{8}

4$\rm MN = \frac{(8-x)}{2}

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 17:56

Donc pour calculer l'aire du rectangle AMNP on doit faire Ll c'est-à-dire AMMN donc x\frac{(8-x)}{2}

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 18:02

oui c'est bien ça

attention au signe "multiplié" qui ressemble trop au "x"

dans ce cas là je préfère rien mettre

3$\rm aire du rectangle = x\frac{(8-x)}{2}

ou encore comme ça:

3$\rm aire du rectangle = \frac{1}{2}x(8-x)

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 20:34

Et pour la question 3.a: Vérifier que f(x) = -\frac{1}{2}(x-4)2+8

Moi, j'ai fait -\frac{1}{2}(x-4)2+8 = -\frac{1}{2}x2-4x-4x+16+8 = -\frac{1}{2}x2-8x+24. Mais après, qu'est ce qu'il faut faire ???

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 20:49

si tu développes tu dois retrouver la même chose:

3$\rm -\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 8

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x ) - 8 + 8

3$\rm \frac{1}{2}(8x - x^2)

3$\rm \frac{1}{2}x(8 - x)

c'est la forme canonique:

3$\rm \frac{1}{2}x(8 - x)

3$\rm \frac{1}{2}(8x - x^2)

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x)

3$\rm -\frac{1}{2}[(x-4)^2 - 16]

3$\rm -\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 20:52

après c'est la question 3b

en partant de la forme canonique:

(x-4)² est un carré toujours 0

-(x-4)² est toujours 0

je te laisse finir le raisonnement

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 20:52

Ah d'accord, j'ai compris, merci !!!
Au fait l'ensemble de définition de f c'est f(x)= Aire du rectangle AMNP, n'est-ce pas ?

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 20:54

Une minute, c'est quoi la forme canonique (j'avais pas recu ton dernier message)

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:03

le point M se déplace sur le segment [AB]

l'ensemble de définition c'est x [0;8]

la forme canonique d'une expression (un trinôme)

c'est faire apparaitre un carré

de façon à pouvoir trouver les extrémums de la fonctions,

étudier ses variations, factoriser,...

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:15

(x-4)² 0

le minimum de (x-4)² est zéro pour x=4

-(x-4)² 0

le maximum de -(x-4)² est zéro pour x=4

-(1/2)*(x-4)² + 8

le maximum de -(1/2)(x-4)² + 8 pour x=4 est ...

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:18

-4 ? Mais, il n'y aurait pas une autre facon de pouvoir savoir pour quelle position particulière du point M, l'aire du rectangle AMNP est maximale. Parce que je crois que je n'ai pas encore étudier la forme canonique.

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:25

pour la forme canonique

tu n'es pas obligé de savoir que ça s'appelle comme ça

l'énoncé te le donne en 3a

il faut utiliser ce qu'on te donne

il suffit de savoir qu'un carré est toujours positif ou nul

l'aire sera maximale quand le carré sera nul

pour x=4

-(1/2)(x-4)² = 0

-(1/2)(x-4)² - 8 = 8

aire maximale est de 8 cm² quand x = 4 cm

le point M est au milieu de [AB]   AM = 4 cm

le point P est au milieu de [AC]   AP = 2 cm

aire AMNP = 4*2 = 8 cm²

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:27

c'est un plus évidemment !!!

-(1/2)(x-4)² + 8 = 8

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:31

Aaaaaaaaaaaaaah !!! J'ai compris !!!
Merci beaucoup Daniel62 !!!

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:33

mais de rien

l'exo est terminé

Bonne soirée

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 24-09-10 à 21:35

A toi aussi.
Bye

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:10

Re-bonjours,
Sur le même exercice, il y a une autre question qui me gène et qui est la suivante:
Déterminer algébriquement les valeurs exactes de x pour lesquels l'aire de AMNP est égale à 4 cm2 (on justifiera que l'équation f(x)=4 équivaut à (x-4-8)(x-4+8)=0).
Pour prouver que (x-4-8)(x-4+8)=0 j'ai utilisé l'identité remarquable (a-b)(a+b)=a2+b2 c'est-à-dire que (x-4-8)(x-4+8)= (x-4)2+8
Mais après, que faut-il faire ?

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:35

l'aire du rectangle c'est -(1/2)(x-4)² + 8

pour une aire de 4 cm²

-(1/2)(x-4)² + 8 = 4

-(1/2)(x-4)² + 8 - 4 = 0

- + 4 = 0

4 - (1/2)(x-4)² = 0

différence de 2 carrés

2² - (1/2)(x-4)² = 0

2² - [(x-4)/2]² = 0

2² - [(x-4)*2/2]² = 0

[2 + 2*(x-4)/2]*[2 - 2*(x-4)/2] = 0

[4 + 2*(x-4)]*[4 - 2*(x-4)] = 0

[42 + 2*(x-4)]*[42 - 2*(x-4)] = 0

[22 + (x-4)]*[22 - (x-4)] = 0

ouf !!!

8 = 22

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:39

après on trouve les 2 solutions

x1 = 4 + 8

ou

x2 = 4 - 8

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:43

Ah d'accord !!! Mais 1000 fois Daniel62.

Posté par
SamR
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:44

Ah !!! Désolé, je voulais dire MERCI 1000 fois !!!

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:52

de rien

Posté par
Daniel62
re : Triangle rectangle 27-09-10 à 21:57

je l'ai prouvé sans avoir le résultat

à partir du résultat on doit pouvoir développer

et prouver que c'est bien égal à f(x)-4

(8 + (x-4))(8 - (x-4))

8 - (x-4)² = 0

4 - 1/2*(x-4)² = 0

8 - 1/2*(x-4)²  = 4

Posté par
artpop
Triangle rectangle 13-10-13 à 20:02

Quelle est la réponse a le question 1 ?

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