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Trigonalisation

Posté par
Stemba 13-12-08 à 13:06

Bonjour,

j'ai du mal avec la trigonalisation, je vais dans un premier temps faire un exercice avec la matrice A diagonalisable et dans un second temps non diagonalisable.

la seul méthode apprit en cour est la trigonalisation de dunford, c'est à dire:
1)T=D+N (N nilpotent et D diagonalisable)
2) D et N commutent (équivalent matrice semblable)
3)il existe une base qui à la fois diagonalise D et trigonalise N

1 er cas/

Soit A la matrice réel A=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&1 \\ \\ 1&1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&1 \\ \end{pmatrix}

1/Trigonalisé A

a)Polynôme caractéristique: PA(T)=-(2-T)^{2}(T^{2}-4)=-(2-T)^{2}(T-2)(T+2)=-(2-T)^{3}(T+2)=(T-2)^{3}(T+2) (méthode de calcul dans l'ordre: c1<- c1+c2, l2<- l2-l1, c3<- c3-c2, l2<- l2+l3)

soit E2=ker(A-2I4) et \begin{pmatrix} \\ x&y&z&t \\ \end{pmatrix}E2 (A-2I4)\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \\ -1&1&1&1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ -x+y+z+t=0(equa 1)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 2)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 3)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 4)\\ \\ \end{array} \\ \right.
équa2=équa3=équa4=-équa1
on peut donc se ramener à une unique équation: -x+y+z+t=0 x=y+z+t
\begin{pmatrix} \\ x&y&z&t\\ \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ y+z+t \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}


y,z,t=0 donc ={1,2,3} avec 1=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},2=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},3=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} forme une base de E2 et de 3 car 1,2,3 sont linéairement indépendant.

soit E-2=ker(A+2I4) et et \begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}E-2 (A-2I4)\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \\ 3&1&1&1 \\ \\ 1&3&-1&-1 \\ \\ 1&-1&3&-1 \\ \\ 1&-1&-1&3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ 3x+y+z+t=0(equa 1)\\ \\ x+3y-z-t=0(equa 2)\\ \\ x-y+3z-t=0(equa 3)\\ \\ x-y-z+3t=0(equa 4)\\ \\ \end{array} \\ \right.
équa2<-équa2+equa1 :4x+4y=0 =>x=-y
équa4<-équa4+3équa3: 4x-4y+8z=0 =>8y=8z =>y=Z
équa1:-3y+y+y+t=0=>y=t
\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}E2\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ -y \\ y \\ y \\ y \\ \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\ ={3} avec 3=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} forme une base de E-2 et de
Conclusion: PA(T) est scindable dans [T]
-dim E2=3=m2(m2 multiplicité de la valeur propre 2)
-dim E-2=1=m-2(m-2 multiplicité de la valeur propre -2)
=> A est diagonalisable
donc:
D=\begin{pmatrix} \\ 2&0&0&0 \\ \\ 0&2&0&0 \\ \\ 0&0&2&0 \\ \\ 0&0&0&-2 \\ \end{pmatrix}
A est également trigonalisable car Pa(T) est scindable dans [T]

maintenant il ne me reste plus qu'a trouver N:
(A-2I4)=\begin{pmatrix} \\ -1&1&1&1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \end{pmatrix}
mais la je comprend pas peut importe le n >0 et n<=3 de (A-2I4)^{n} je ne l'aurai pas égale à 0?

donc la comment je trouve la matrice nilpotente?

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 13:13

autre question pour la matrice D, peut importe comment je place les valeurs propres sa n'a pas d'importance?

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 14:12

J'ai test une méthode que j'ai prit sur wikipédia:http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonalisation
M=\begin{pmatrix}%20\\%20i&2&-1%20\\%20\\%20 0&-i&0%20\\%20\\%20 0&-1&2\end{pmatrix}
Pm(X)=(i-x)²(2-x)

Ei=ker(M-iI3)=\begin{pmatrix}%20\\%200&2&-1%20\\%20\\%20 0&-2i&0%20\\%20\\%20 0&-1&2-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}%20\\a&b&c\end{pmatrix}=(0,0,0)
2b-c=0
-2ib=0
-b+(2-i)c=0
e1=a(1,0,0)



E2=ker(M-2I3)=\begin{pmatrix}%20\\%20i-2&2&-1%20\\%20\\%20 0&-i-2&0%20\\%20\\%20 0&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}%20\\a&b&c\end{pmatrix}=(0,0,0)
(i-2)a+2b-c=0
(-i-2)b=0
-c=0
e2=c(1,0,0)

maintenant pour faire une base il me faut un vecteur e3 qui sera linéairement indépendant avec les autres donc e3=(0,1,0)

ensuite Me3=(2,-i,-1)=2e1-e2-ie3
donc T=\begin{pmatrix}%20\\%20i&0&2%20\\%20\\%20 0&2&-1%20\\%20\\%20 0&0&-i\end{pmatrix}
j'ai pas du tout pareil qu'eux, pourquoi?

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 14:28

Erreur :\begin{pmatrix}%20\\%20i&-1&2%20\\%20\\%20%200&2&-1%20\\%20\\%20%200&0&-i\end{pmatrix}
car Me2=-e1+2e2

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 15:31

y,z,t=0 donc ={V1,V2,V3} avec V1=\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},V2=\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},V3=\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} forme une base de E2 et de 3 car 1,2,3 sont linéairement indépendant.
je rectitifie ici

Posté par
lafol Moderateurre : Trigonalisation 13-12-08 à 15:46

Bonjour
une matrice diagonale est triangulaire : si tu sais diagonaliser A, tu sais la trigonaliser ....

et l'ordre des valeurs propres sur la diagonale n'a pas d'importance, si ce n'est qu'il conditionne l'ordre des vecteurs propres dans la matrice de passage (ce qui a son importance quand on se sert de la forme diagonale pour évaluer des puissances n_ièmes par exemple)

Posté par
lafol Moderateurre : Trigonalisation 13-12-08 à 15:47

Autre chose : quand une matrice est trigonalisable, il n'y a pas unicité de la forme triangulaire : tu peux trouver autre chose sans que ce soit forcément faux

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 16:14

"une matrice diagonale est triangulaire : si tu sais diagonaliser A, tu sais la trigonaliser"
diagonalisé y'a pas de soucis !
mais disons que mon professeur pour trigonalisé nous fait un truc de fou avec une dizaine de page ^^
La méthode wiki en 10 ligne c'est fait ^^ (d'ailleurs est ce bon et sa marche tous le temps?)
Disons que entre faire 10 pages et 10 lignes, le choix va être vite fait, car dans un examen le temps c'est précieux.
je vais quand même essayé de comprendre la méthode du prof et posté dans un message la où je comprend pas mais dite moi quand même si la méthode wiki marche.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 17:38

Quel méthode utiliser pour trouve la matrice P tel que P-1 A P = T?

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 17:53

je doit m'arrangé pour trouver la matrice P triangulaire à partir des vecteurs de ker(A-Ik)^(n) de n =1 jusqu'à n égale à la multiplicité de la valeur propre c'est sa?

Posté par
Stembare : Trigonalisation 13-12-08 à 22:14


Soit A=\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ -1&4&1&2 \\ \\ 2&1&2&-1 \\ \\ 1&2&1&0 \\ \end{pmatrix}

alors PA(X)=(x-2)^{3}(x-1)
soit E1=ker(A-I4)et(x,y,z,t)E1
-x+3y+z-2t=0         [2-3] x=y
2x+y+z-t=0   <=>     [2-1] t=-y
x+2y+z-t=0                 z=-4y

donc (x,y,z,t)=(x,x,-4x,x)=x(1,1,-4,1)=v1

soit E2=ker(A-2I2) et (x,y,z,t)E2
-x=0
-x+2y+z-2t=0
2x+y-z=0
-x+2y+z-2t=0
y=t

donc (x,y,z,t)=(0,y,0,y)=x(0,1,0,1)=v2

maintenant base de E2 complète dans la base de ker(A-2I4)^{2}
ker(A-2I4)^{2}=\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ -1&1&0&-1 \\ \\ -4&0&0&0 \\ \\ -3&1&0&-1 \\ \end{pmatrix}(x,y,z,t)=(0,0,0,0)

z=0

donc (x,y,z,t)=(0,0,z,0)=z(0,0,1,0)=v3
(v2,v3) linéairement indépendant (trivial)

complété en une base de ker(u-2id)^{3}

ker(A-2I4)^{3}=\begin{pmatrix} \\ -1&0&0&0 \\ \\ -1&0&0&0 \\ \\ 4&0&0&0 \\ \\ -1&0&0&0 \\ \end{pmatrix}(x,y,z,t)=(0,0,0,0)

la t=0
donc (x,y,z,t)=(0,0,0,t)=z(0,0,0,1)=v4
(v2,v3,v4) linéairement indépendant (trivial)

(v1,v2,v3,v4) linéairement indépendant car det P=1

P=\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 1&1&0&0 \\ \\ -4&0&1&0 \\ \\ -1&1&0&1 \\ \end{pmatrix}
est ce sa la technique?
maintenant il me reste plus qu'a faire T=P-1 A P c'est sa?


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