salut,
je bloque sur un exo assez complexe si vous pouviez me donner une indication pour que je puisse le faire merci ^^
La suite est définie par et :
n*,
*Ini : Si n=0 , 0+1=11=
La proposition est initialisée.
*Soit n un entier naturel, on suppose Pn est vérifié est montrons que P(n+1) est vérifiée i.e. montrons que :
n+2
j'essaye de placer l'hypothèse de récurrence mais je n'arrive pas vu que je suis complètement bloqué
puisque
je ne vois pas comment passer la chose...
d'ailleurs je trouve cette suite un peu spécial comme elle est définie u_0 est inutile vu que u_n est définie par des u_n en fraction.
et dernière question j'ai utilisé "proposition" à la place de "propriété", ce n'est pas grave ? vu qu'on cherche à démontrer une proposition?
merci d'avance
bonsoir : )
La première chose à faire est de donner la proposition à démontrer.
Bon, on la devine après avoir lu.
Ensuite, il y a une réelle différence entre , et .
Pour la première, il s'agit de crochets ordinaires. La deuxième est la fonction partie entière et la troisième la fonction partie entière par excès.
Tu aurais pu le deviner car une suite est une fonction au départ de avec .
Ainsi par exemple, si est une suite, tu ne pourras jamais écrire ou , ça n'a aucune signification.
Tu cherches donc à démontrer la proposition suivante .
Au niveau de l'hérédité, tu as plusieurs façons de t'en sortir.
D'abord, tu peux noter que la suite est clairement positive et tu peux le démontrer par récurrence si t'en as envie.
Ensuite, tu peux démontrer que . Simplement en revenant à la définition de la fonction partie entière et en considérant tous les cas de congruence modulo 6 de l'indice .
Tu pourras faire des recherches sur la différence entre une proposition et une propriété.
En pratique on ne fait aucune différence.
Je rectifie :
merci pour vos réponses
d'ailleurs les raisonnements ne sont pas vraiment mon fort en math :/ vous avez pas quelque chose à me conseiller ? à moins que j'attends les premiers cours de math sup ?
Je te l'ai écrite ce qu'était la récurrence forte. Elle se formule comme une récurrence simple sauf que pour établir l'hérédité, on suppose vraie toute une suite de propositions.
Soit .
Le principe de la récurrence simple est le suivant : si est vraie, et si, pour tout entier , la vérité de implique celle de alors la proposition : est vraie.
Exemple : Soit une suite arithmétique de raison . Alors, pour tout , .
En effet, par définition, pour tout , .
Initialisation : On a .
Hérédité : Soit . On suppose que et il s'agit de montrer que .
Or, il est immédiat que : , ce qui termine la récurrence.
Il arrive parfois des cas où l'hypothèse que est vraie ne suffit pas pour montrer que est vraie. Dans ces cas, on a par exemple besoin de et (on parle alors d'une récurrence double), ..., voire carrément de toute la suite de propositions (et on parle alors d'une récurrence forte).
Exemple : Soit une suite réelle définie par et pour tout , . Alors est à termes strictement positifs.
Initialisation : Par hypothèse, .
Hérédité : Soit . On suppose que pour tout , et il s'agit de montrer que .
Or, est une somme de nombres strictement positifs si bien que et la preuve est terminée.
Tu vois qu'ici, on ne pouvait pas se contenter de supposer uniquement que pour montrer que .
Maintenant que tu as eu un exemple, tu peux reprendre mon message et rédiger ta solution.
ok merci j'ai compris
si j'ai bien compris y'a pas besoin d'initialisation vu qu'elle est dans l'hérédité?
-Hérédité: Soit , supposons qu'il existe k tel que pour tout la propriété est vraie c'est à dire que pour tout
en faite non je comprend pas ce que ça apporte la fonction partie entière
Non tu n'as pas compris, j'ai explicitement fait une initialisation dans les deux exemples que j'ai donnés. L'initialisation est toujours à faire.
Et ta récurrence ne va pas du tout.
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