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Niveau Maths sup
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Un calcul de PGCD

Posté par
Esko66
29-09-16 à 20:22

Bonjour,

Je dois trouver le degrée du PGCD de X^8 + X^4 + 1 et (X + 1)^5 − X^5 − 1
Soit PGCD ( (X^8 + X^4 + 1);(X^4 + 2X^3+2X^2 + 5x) )

Mis à part calculer le PGCD y-at-il un autre moyen de trouver son degré ?
Si oui pouvez-vous expliquer comment vous avez fait, ça serait super sympa

Posté par
carpediem
re : Un calcul de PGCD 29-09-16 à 20:43

salut

chercher les diviseurs de chaque polynome et prendre le "plus grand" ...

Posté par
Esko66
re : Un calcul de PGCD 29-09-16 à 22:32

Merci,

Je crois que le pgcd est X²+sqrt(3)X+1

Posté par
carpediem
re : Un calcul de PGCD 29-09-16 à 23:15

en math on ne croit pas on prouve ...

Posté par
Razes
re : Un calcul de PGCD 29-09-16 à 23:21

C'est prouvé que c'est faux.

Posté par
DOMOREA
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 10:03

bonjour,
Une méthode possible
Ecris X^8+X^4+1 en produit de polynômes de degré1 dans \mathbb{C}[X] et regarde si des zéros  de P(X) sont des zéros de l'autre polynôme, après tu auras facilement le PGDC

Posté par
DOMOREA
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 10:06

re,
les zéros en question sont de module 1 or ce n'est pas le cas des zéros de ton PGDC

Posté par
DOMOREA
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 10:22

re,
non je dis des bêtises les solutions de ton  PGDC sont bien de module 1

Posté par
lafol Moderateur
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 14:24

Bonjour

Citation :
Je dois trouver le degrée du PGCD de X^8 + X^4 + 1 et (X + 1)^5 - X^5 - 1
Soit PGCD ( (X^8 + X^4 + 1);(X^4 + 2X^3+2X^2 + 5x) )


faudrait savoir ... (X + 1)^5 - X^5 - 1 ou X^4 + 2X^3+2X^2 + 5X ?

Posté par
luzak
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 16:47

Bonjour !
Il se trouve que (X^4-1)(X^8+X^4+1)=X^{12}-1.
Comme (X^4-1)  est premier avec X^4+2X^3+2X^2+5X on ne change pas le pgcd.
Reste à voir combien de racines 12ième de 1 (autres que celles de X^4-1) sont racines du deuxième polynôme : on aurait alors le degré du pgcd.

Posté par
DOMOREA
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 17:24

bonjour,
évidement tu as commis une erreur qui je pense est une coquille dans ton texte du début et  cela a eu des conséquences
(X+1)^5-X^5-1=5X(X^3+2X^2+2X^+1)
Donc comme 5X  ne divise pas X^8+X^4+1

PGDC(X^8+X^4+1; (X+1)^5-X^5-1)=PGDC(X^8+X^4+1;X^3+2X^2+2X^+1)
-1  est zéro évident de X^3+2X^2+2X^+1

X^3+2X^2+2X^+1=(X+1)(X^2+X+1)
-1 n'est pas zéro de x^8+X^4+1
or il se trouve que les zéros  de X^2+X+1 sont des zéros de X^8+X^4+1 donc X^2+X+1 divise X^8+X^4+1

Posté par
carpediem
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 18:26

x^8 + x^4 + 1 = (x^4 + 1)^2 - x^4 = (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + \sqrt 3 x + 1)(x^2 - \sqrt 3 x + 1)


(x + 1)^5 - x^5 - 1 = 5(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x) = 5x(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) = 5x[x(x^2 + x + 1) + x^2 + x + 1] = 5x(x + 1)(x^2 + x + 1)

et on en déduit le pgcd ...

Posté par
DOMOREA
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 19:00

@carpediem
je reconnais là ton sens de l'astuce

Posté par
luzak
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 19:03

lafol avait écrit les deux possibilités d'énoncé et j'ai choisi la mauvaise...

Posté par
carpediem
re : Un calcul de PGCD 30-09-16 à 19:14

luzak ::

oui la non symétrie du deuxième m'a interpellé ... alors pour être sur de dire "j'ai raison" j'ai quand même pris un papier et un crayon ...

DOMOREA ::

le premier est un classique (ou le devient avec l'expérience)

pour le deuxième mis à part le développement du binome je suis resté au collège (factorisation élémentaire totale ou partielle) et bien sur en utilisant la célèbre tautologie : 2 = 1 + 1



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