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Niveau Maths sup
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Un problème de dimension finie.

Posté par
ChazyChaz
20-03-09 à 20:21

Bonsoir.
Un petit problème sur les espaces vectoriels de dimension finie me pose quelques problèmes.

Soit E un IK espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E, il s'agit de montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel H tel que F+G = F \bigoplus H = G \bigoplus H si et seulement si dim(F) = dim(G).

Les questions sont :

1/ On suppose que F et G sont deux hyperplans de E distincts, montrer alors que la droite vectorielle H = < f + g > est solution du problème .

J'ai traduit le fait qur si F et G sont deux hyperplans distinct de E, alors ils sont de dimensions n-1, mais après plus de pistes !

2/ En supposant que dim(F) = dim(G) , résoudre le problème si F = G.

Ici, je ne comprends pas bien comment on peux résoudre le problème si F = G ...

3/ Justifier l'existence de sous-espaces vectoriels F' et G' tels que  (F \cap G) \bigoplus F' = F et  (F \cap G) \bigoplus G' = G
On notera B = (f,...,fp) et C = (g1,...,gp) les bases respectives de F' et G'

Ici, pas de problème particuliers.

On considère alors  \forall i \in [1,p] , h_i = f_i + g_i
Montrer que la famille D = (h_1,...h_p) est libre.

Pas de problème non plus.

Soit H = <h_1,...,h_p>, déterminer dim(H)

Je pense avoir bon, j'ai trouvé 2p

Montrer que F \cap G = {0_E} et que G \cap H = {0_E}

Dernière question qui doit permettre de conclure, mais je ne voit pas par où commencer .

Merci à tous pour les courageux qui auront lu jusque ici, je vous tien au courant ici, un peu d'aide serait la bienvenue :p.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Un problème de dimension finie. 21-03-09 à 03:05

Bonjour ChazyChaz

Tu n'as pas défini f et g, sont-ce deux vecteurs non nuls de F et G ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Un problème de dimension finie. 21-03-09 à 03:17

Si oui, il suffit pour la question 1 d'utiliser 3 fois de suite le fait que la somme d'un hyperplan et de la droite vectorielle engendrée par un vecteur n'appartenant pas à cet hyperplan est égale à E.

Posté par
ChazyChaz
re : Un problème de dimension finie. 22-03-09 à 15:13

Bonjour et désolé de ma réponse tardive.
A priori, f et g sont bien des vecteurs non nuls de F et G (rien n'est précisé dans l'énoncé).
Merci de votre réponse, je vais voir cela tout de suite !

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Un problème de dimension finie. 22-03-09 à 15:17

Ok, avec plaisir!

Posté par
ChazyChaz
re : Un problème de dimension finie. 23-03-09 à 20:05

Bonsoir.

J'ai réussi à montrer la somme directe entre F et H et entre G et H, mais pour montrer que ces 2 sommes directes sont égales à F + G , je coince, pouriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Un problème de dimension finie. 23-03-09 à 21:54

En fait, F + G c'est tout l'espace.

Pour t'en convaincre, il suffit de choisir un vecteur g de G qui n'est pas dans F (ce qui est possible puisque par hypothèse, F et G sont non confondus).

Comme F est un hyperplan, l'espace vectoriel engendré par F et g est l'espace en entier.

A fortiori, l'espace F + G, encore plus gros a priori, est lui aussi l'espace E en entier.

Tout comme F + H et G + H. Ces trois sommes coïncident donc.



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