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un problème de fonction.
Bonjour,
Je viens de rentrer à l'UCL et j'ai un exercice à vous soumettre.
On me décrit deux fonction f et g :
f : c'est polynôme, f(1)=1 et f(2.x)=4.f(x)
g : fonction continue, f(x+1)=f(2.x) et f(m.x)=(f(x))^m
les fonction ne sont pas difficiles à deviner, f(x)=x² et g(x)=2^x
Cependant, je dois justifier qu'il n'en existe pas d'autres. c'est là mon problème.
indice : Pour f, il faut utiliser le fait que c'est un polynôme et pour g, utiliser le fait que c'est une fonction continue.
Merci d'avance.
tu trouves que pour tout x, f"(2x)=f"(x)
notamment f"(1) = f"(2) = f"(4) = ... = f"(2n= = ...
l'équation f"(x) = f"(1) est une équation polynomiale qui a une infinité de solution...!
donc f" est constante
donc f est du second degré
f(2*0)=4f(0) te donne f(0)=0
f(x)=ax²+bx
f(1)=1 te donne a+b=1
f(2)=4f(1) te donne 4a+2b=4a+4b
d'où b=0 et a=1
et hop
mm
Pourquoi commences-tu par f"(2x)=f"(x) alors que ma relation est f(2.x)=4.f(x). En quoi ta réponse montre-t-elle que x^2 est la seule possible ?
f est un polynôme, donc dérivable une infinité de fois
ta relation f(2x)=4f(x) est vraie pour tout x
si tu la dérives tu obtiens quoi ?
pour ta fonction g, l'énoncé n'est pas clair...
elle est définie continue sur quoi ???
g(x+1)=2g(x) ...OK
g(m*x)=g(x)m pour tout m dans quoi ???
pour f : j'ai expliqué la méthode... lis mes post et fais-le... tu comprendras (si tu sais dériver une composée simple !)
pour g : on va dire définie continue sur R
g(x+1)=2g(x) te permet de démontrer par récurrence que g(k)=g(0)*2k pour k
puis pour x
; x=p/q
g(0)*2p = g(p) = g(q*(p/q)) = g(p/q)q
et la deuxième donne aussi g(0)=g(0)m pour tout m ...
donc g(0)=g(0)2
donc g(0) = 0 ou 1
avec tout cela, tu prouve que
soit g est la fonction nulle
soit g(x)=2x
(tu l'as pour tout x rationnel, puis par densité de Q dans R et avec la continuité tu l'as pour tout x réel)
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