bonsoir!
je dois trouver les valeurs propres de l'application suivante;
f: E ---> E
P |---> (X+1)P'+XP(-1).
avec E=R3[X].
et la question est la suivante; soit k€R. Résoudre l'équation f(P)=kP d'inconnue P.
On note dorénavant k1,k2,k3,k4, les valeurs propres de f dans l'ordre croissant et Pj le vecteur propre pour f associé à kj et qui est un polynome unitaire.
Enfet, j'ai fait : soit (a,b,c,d)€R4 tq P(X)=aX3+bX²+cX+d. et en posant le système je trouve quatre k, à savoir:
k= 3 ; k=2+3a/b; k=(3b-a)/c; k=c/d
alors je suis pas du tout sure de mes réponses, de plus qu'il faut les classer dans l'ordre croissant, et comme je connais pas ni a ni b ni c ni d ...
Merci d'avance ! !
salut
et si tu commençais déja par trouver les fonctions affines qui sont vecteurs propres et la valeurs propre associée....
puis ensuite les trinomes...
ou alors tu écris la matrice de f dans la base canonique 1,x,x²,x3 puis tu cherches les valeurs propres puis les vecteurs propres....
bonsoir raymond,
l'intitulé du sujet est : soit E=R3[X] et soit f la fonction de E vers E qui à tout P de E associe (X+1)P'+XP(-1).
Je regrette mais c bien P(-1)...
Merci. Alors, dans ce cas, prend pour base de E la famille :
1 ; (X+1) ; (X+1)² ; (X+1)3
Cherche les images de ces trois vecteurs.
ainsi pour P=ax+b et f(P)=kP je trouve k=1 puis apreès vérification k=1 et a=b donc f[a(x+1)]=1[a(x+1)]....
ce qui correspond à ton k=c/d qui conduit à c=d et k=1....
merci carpediem et Raymond pour votre aide,
je vais essayer de me débrouiller avec les pistes que vous m'avez donné !
Bonne soirée!
alors voila, je suis restée sur l'idée avec le système et P(X)=aX3+bx²+cx+d et j'ai fait un sorte d'algorythme, le système de départ étant;
{3a=ka } si a =1 alors k=3, b=3, c=3 d=1 et le polynome correspondant est P= (X+1)^3
{2b+3a=kb } <<=>>
{3b-a+d=kc} si a=0 alors on a le système : {2b+3a=kb }
{c=kd } {3b-a+d=kc}
{c=kd }
d'ou , si b=1 k=2,c=2 et d=1 donc le "vecteur propre" associé est P= (x+1)²
or si b=0 et si c=1 alors k=1 et d=1 le vect pr associé est P= (x+1)
et si c=0 alors k=0 ou d=0 et comme k ne peut pas etre nul (avant j'ai montré que f était bijective donc la valeur propre 0 est impossible) et donc d=0
mais vous aviez trouvé 1 comme premier élément de la base donc mon d=0 est faux je devrais trouver un ...
Si tu veux, je te donne les valeurs propres que j'ai trouvées :
1°) k = 3, associée au vecteur propre (X+1)3
2°) k = 2, associée au vecteur propre (X+1)²
3°) k = 1, associée au vecteur propre X+1
4°) k = -1, associée au vecteur propre X-1
ah okay, donc en fait le vecteur propre 1 était pas bon...
je crois avoir compris, maintenant, il ne me reste plus que tout le reste de mon dm moins une question
Merci bcp !
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