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une application avec des polynomes ...

Posté par
beirutrace
31-05-09 à 19:26

bonsoir!

je dois trouver les valeurs propres de l'application suivante;

f: E ---> E
P |---> (X+1)P'+XP(-1).
avec E=R3[X].

et la question est la suivante; soit k€R. Résoudre l'équation f(P)=kP d'inconnue P.
On note dorénavant k1,k2,k3,k4, les valeurs propres de f dans l'ordre croissant et Pj le vecteur propre pour f associé à kj et qui est un polynome unitaire.


Enfet, j'ai fait : soit (a,b,c,d)€R4 tq P(X)=aX3+bX²+cX+d. et en posant le système je trouve quatre k, à savoir:

k= 3 ; k=2+3a/b; k=(3b-a)/c; k=c/d

alors je suis pas du tout sure de mes réponses, de plus qu'il faut les classer dans l'ordre croissant, et comme je connais pas ni a ni b ni c ni d ...

Merci d'avance ! !

Posté par
carpediem
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:40

salut

et si tu commençais déja par trouver les fonctions affines qui sont vecteurs propres et la valeurs propre associée....
puis ensuite les trinomes...

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:42

Bonsoir.

Peux-tu nous redonner la définition de f(P) ? Ce " XP(-1) " me paraît doûteux.

Posté par
carpediem
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:46

ou alors tu écris la matrice de f dans la base canonique 1,x,x²,x3 puis tu cherches les valeurs propres puis les vecteurs propres....

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:48

bonsoir raymond,

l'intitulé du sujet est : soit E=R3[X] et soit f la fonction de E vers E qui à tout P de E associe (X+1)P'+XP(-1).
Je regrette mais c bien P(-1)...

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:53

Merci. Alors, dans ce cas, prend pour base de E la famille :

1 ; (X+1) ; (X+1)² ; (X+1)3

Cherche les images de ces trois vecteurs.

Posté par
carpediem
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:54

ainsi pour P=ax+b et f(P)=kP je trouve k=1 puis apreès vérification k=1 et a=b donc f[a(x+1)]=1[a(x+1)]....

ce qui correspond à ton k=c/d qui conduit à c=d et k=1....

Posté par
carpediem
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 19:55

salut raymond

effectivement ça semblerait une meilleure base...

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 20:02

Bonsoir carpediem

Après m'avoir surpris, ce " P(-1)" m'a guidé vers le plus simple me semble-t-il.

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 20:10

merci carpediem et Raymond pour votre aide,

je vais essayer de me débrouiller avec les pistes que vous m'avez donné !

Bonne soirée!

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 20:35

Nous tiendras-tu au courant de tes découvertes ?

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 20:39

sans problème!

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 20:43

Bonne soirée. A bientôt.

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 21:24

alors voila, je suis restée sur l'idée avec le système et P(X)=aX3+bx²+cx+d et j'ai fait un sorte d'algorythme, le système de départ étant;

{3a=ka    }           si a =1 alors k=3, b=3, c=3 d=1 et le polynome correspondant est P= (X+1)^3    
{2b+3a=kb }   <<=>>
{3b-a+d=kc}           si a=0 alors on a le système :      {2b+3a=kb }
{c=kd     }                                                  {3b-a+d=kc}
                                                                 {c=kd     }

d'ou , si b=1 k=2,c=2 et d=1 donc le "vecteur propre" associé est P= (x+1)²
or si b=0 et si c=1 alors k=1 et d=1 le vect pr associé est P= (x+1)
et si c=0 alors k=0 ou d=0 et comme k ne peut pas etre nul (avant j'ai montré que f était bijective donc la valeur propre 0 est impossible) et donc d=0

mais vous aviez trouvé 1 comme premier élément de la base donc mon d=0 est faux je devrais trouver un ...

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 21:25

ah non c'est bon en fait si je justifie par le fait que P est un polynome unitaire alors d=1 ! !

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 21:29

Si tu veux, je te donne les valeurs propres que j'ai trouvées :

1°) k = 3, associée au vecteur propre (X+1)3

2°) k = 2, associée au vecteur propre (X+1)²

3°) k = 1, associée au vecteur propre X+1

4°) k = -1, associée au vecteur propre X-1

Posté par
beirutrace
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 21:34

ah okay, donc en fait le vecteur propre 1 était pas bon...

je crois avoir compris, maintenant, il ne me reste plus que tout le reste de mon dm moins une question

Merci bcp !

Posté par
raymond Correcteur
re : une application avec des polynomes ... 31-05-09 à 21:44

Tu as en fait quatre valeurs propres distinctes :

-1 ; 1; 2 ; 3.



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