Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

Une extension galoisienne de Q.

Posté par
1 Schumi 1
09-01-08 à 13:27

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'un peu d'aide sur cet exercice:

Citation :

Soient \rm p_1,...,\rm p_n n nombres premiers distincts.
1) Montrer les assertions suivantes:
a) \rm\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n}) est de degré \rm 2^n sur \rm\mathbb{Q}.
b) Un élément \rm x\in\mathbb{Q} est un carré dans \rm\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n}) si et seulement si il existe une partie \rm I\subset\{1,...,n\} tel que \rm x\Bigprod_{i\in I}p_i soit un carré dans \rm\mathbb{Q}.

2) Montrer que l'extension \rm\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n}) est galoisienne et calculer son groupe de Galois.



Je pense avoir résolue la question 1). Je l'ai mise juste au cas où ça servirait pour la suite. Par contre la 2), je vois pas trop comment démontrer que cette extension est bien galoisienne...

Si vous avez une idée, je suis prenant. (Pas la soluce hein, seulement un nain dix sure ).

Pour le groupe de Galois, il me semble bien qu'il est isomorphe à \rm(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n, c'est bien ça?


Merci d'avance.

Posté par
1 Schumi 1
re : Une extension galoisienne de Q. 09-01-08 à 13:49

Ah oui non, c'est bon. Je crois avoir trouvé.

Posté par
borelborel
re : Une extension galoisienne de Q. 12-12-08 à 12:58

pour montrer qu'elle est galoizienne :  elle est deja separable car extension de  Q  , il rest à montrer qu'elle est normal.

Posté par
1 Schumi 1
re : Une extension galoisienne de Q. 12-12-08 à 13:02

Euh oui, enfin, on ne justifie jamais la séparabilité sur Q vu que c'est un corps parfait. Donc oui, il reste (restait )à montrer qu'elle était normal, m'enfin, c'est tout ce qu'on avait à faire depuis le début. Et la normalité est toutafé triviale si je ne m'abuse...

Posté par
apaugam
re : Une extension galoisienne de Q. 12-12-08 à 13:18

c'est bien une extension normale de \mathbb Q car c'est le corps de décomposition de
(X^2-p_1)(X^2-p_2)...(X^2-p_n)



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !