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une formule d'inversion

Posté par
mat-thieu 27-07-09 à 19:16

On considère 2 suites de nombre (f_n) et (g_n) liées par la relation suivante :
\forallx\ge0,    f_n=\sum_{k=0}^n \(n\\k\)\timesg_k

1)Calculer le terme général de la suite (f_n) (n \in ) si on prends successivement pour terme général de la suite (g_n), les quantités 1, 2^n, (-1)^n, e^{n\alpha, où est un réel fixé.

2) Démontrer par récurrence la relation réciproques suivante :
\foralln\ge0, g_n= \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\(n\\k\)f_k

Voilà, je pense avoir réussi la première question en utilisant le binôme de Newton. Les réponses , dans l'ordre sont :
2^n, 3^n, 0 et e^\alpha.
Par contre, pour la deuxième question , je pense avoir trouvé l'initialisation de la récurrence, mais pas l'hérédité...
I need your help please =)

Posté par
mat-thieure : une formule d'inversion 27-07-09 à 19:18

bonjour  et merci quand même^^

Posté par
thibleprire : une formule d'inversion 27-07-09 à 19:27

\red \fbox{Bonjour,}

Pour la question 1, je suis d'accord sauf pour la dernière, j'aurai plutôt dit: (e+1)n

Pour la 2,
je te réponds dans quelques minutes

Posté par
mat-thieure : une formule d'inversion 27-07-09 à 19:30

ah oui pour la 1 c'est ça, j'étais tellement content d'avoir su l'écrire avec Tex que j'en ai oublié la suite lol

Posté par
thiblepriRe 27-07-09 à 21:40

Bon pour la 2), je ne fais que l'hérédité, l'initialisation étant triviale. J'espère que tu connais la récurrence forte.
On y va:

4$\textrm Soit n un entier naturel quelconque, on suppose que: \\ \forall k\in \mathbb{N} tel que k\in [0;n], g_k=\Bigsum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\times \(\array{k\\i}\) \times f_i

4$\textrm Montrons que: \\ g_{n+1}=\Bigsum_{i=0}^{n+1}(-1)^{n+1-k}\times \(\array{n+1\\k}\) \times f_k

4$\textrm On sait que: \\ f_{n+1}=\Bigsum_{k=0}^{n+1} \(\array{n+1\\k}\) \times g_k \\ Ainsi: \\ g_{n+1}=f_{n+1}-\Bigsum_{k=0}^{n} \(\array{n+1\\k}\) \times g_k \\ Or, on sait que: \\ \forall k\in \mathbb{N} tel que k\in [0;n], g_k=\Bigsum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\times \(\array{k\\i}\) \times f_i

4$\textrm Donc: \\ g_{n+1}=f_{n+1}-\Bigsum_{k=0}^{n} \(\array{n+1\\k}\) \times \Bigsum_{i=0}^{k}[(-1)^{k-i} \times \(\array{k\\i}\) \times f_i] \\ Ainsi: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{k=0}^{n} \Bigsum_{i=0}^{k} (-1)^{k-i+1} \times \(\array{n+1\\k}\) \times \(\array{k\\i}\) \times f_i \\ On peut donc ecrire: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+ \Bigsum_{0\le i\le k\le n} (-1)^{k-i+1} \times \(\array{n+1\\k}\) \times \(\array{k\\i}\) \times f_i

4$\textrm Donc: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} \Bigsum_{k=i}^{n} (-1)^{k-i+1} \times \(\array{n+1\\k}\) \times \(\array{k\\i}\) \times f_i \\ Ainsi: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times \(\array{n+1\\k+i}\) \times \(\array{k+i\\i}\) \times f_i \\ Alors: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times \frac{(n+1)!}{(k+i)!\times (n+1-(k+i))!}\times \frac{(k+i)!}{k!\times i!} \times f_i


4$\textrm Apres simplification(s): \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} f_i\times \frac{(n+1)!}{i!} \Bigsum_{k=0}^{n-i} [(-1)^{k+1} \times\frac{1}{(n+1-(k+i))!\times k!}]

4$\textrm Il suffit alors de montrer que: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times\frac{1}{(n+1-(k+i))!\times k!}=(-1)^{n-i+1} \times \frac{1}{(n+1-i)!} \\ Ce qui revient a montrer que: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times\frac{(n+1-i)!}{(n+1-(k+i))!\times k!}=(-1)^{n-i+1} \\ Donc que: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times \(\array{n-i+1\\k}\)=(-1)^{n-i+1} \\ Or: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i+1} (-1)^{k} \times \(\array{n-i+1\\k}\) = 0

4$\textrm Et: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times \(\array{n-i+1\\k}\)=(-1)\times ([\Bigsum_{k=0}^{n-i+1} (-1)^{k} \times \(\array{n-i+1\\k}\)] -(-1)^{n-i+1}) \\ Donc, finalement: \\ \Bigsum_{k=0}^{n-i} (-1)^{k+1} \times \(\array{n-i+1\\k}\)=(-1)\times (0 -(-1)^{n-i+1})=(-1)^{n-i+1} \\

4$\textrm On a alors montre que: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} f_i\times \frac{(n+1)!}{i!} \times\frac{1}{(n+1-i)!}\times (-1)^{n-i+1} \\ Donc: \\ g_{n+1}=f_{n+1}+\Bigsum_{i=0}^{n} f_i\times \(\array{n+1\\i}\)\times (-1)^{n-i+1} \\ On ainsi bien montre que: \\ g_{n+1}=\Bigsum_{i=0}^{n+1} f_i\times \(\array{n+1\\i}\)\times (-1)^{n-i+1} \\


Voilà, sauf distraction bien sûr.

Posté par
mat-thieure : une formule d'inversion 28-07-09 à 02:13

Merci à toi le Pri! =)

Posté par
Ulussere : une formule d'inversion 28-07-09 à 15:47

Une démonstration ne demandant pas de récurrence:

On considère l'application linéaire

f : Rn[X]->Rn[X]
P -> P(X+1)

On note M sa matrice dans la base canonique.
On note F le vecteur (fo,f1,...,fn), G le vecteur (g0,g1,...,gn).

On constate que MG = F
On remarque que f est inversible, d'inverse P -> P(X-1). On note M' sa matrice dans la base canonique (la calculer, c'est immédiat avec la formule du binôme).

Alors G = M'F. D'où le résultat.

Posté par
thiblepriRe 28-07-09 à 15:54

Salut Ulusse,
Belle démo en effet!


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