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Niveau seconde
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"Utiliser la relation de Chasles"

Posté par
tizka
11-03-08 à 18:40

Bonsoir, je viens ici vous demander un peu d'aide, je pense m'être trompé dans mon exercice, mais je ne sais pas exactement où, puisque je n'arrive pas à la conclusion recherché. Voici l'énoncé.

Citation :
ABCD est un quadrilatère (voir fichier joint). P et Q sont les milieux respectifs des diagonales [AC] et [BD].
On se propose de démontrer les deux égalités vectorielles :
AB + CD = AD + CB = 2PQ (vecteurs)
Pour cela, on prède en deux étapes.

1/ Egalité AB + CD = AD + CB

a)On peut penser à faire "apparaître" les vecteurs AD et CB dans le membre de gauche en utilisant la relation de Chasles. Recopier et compléter :
AB = AD + ..        CD = CB + ..

b)Remplacer les vecteurs AB et CD par ces nouvelles écritures dans les vecteurs AB + CD et conclure.

2/Egalité AB + CD = 2PQ
a) On peut penser à faire "apparaître le vecteur PQ dans le membre de gauche. Recopier et compléter :

AB = .. + PQ + ..         CD = .. + PQ + ..
b)Conclure.

Voici ce que j'ai fais:

1/
a) AB = AD + DB             CD = CB + BD
b) AD+ DB+ CB + BD = AD + CB + DB - DB = AD + CB
J'en conclut donc que AB + CD = AD + CB.

2/
a) AP + PQ + QB = AB         CP + PQ + QD = CD
   AB = AP + PQ + QB         CD = CP + DQ + QD

b)J'en conclut donc que
CP + PQ + QD + PQ + QA + BP = AB+CD
2PQ + CP + QD + QA + BP = AD + DB + CB + BD

On sait que :
AD = AQ + QD          CB = CP + PB

2PQ + CP + QD + QA + BD = AQ + QD + CD + PB
2PQ = - CD - QD - QA - - BP + AQ + QD + CD + PB
2PQ = 2AQ + 2PB

Et ici, je suis totalement bloqué, je n'arrive pas à trouver mon erreur.
Merci beaucoups, tizka.

 Utiliser la relation de Chasles

Posté par
siOk
re : "Utiliser la relation de Chasles" 11-03-08 à 18:57

bONJOUR


AB + CD = AP + PQ + QB + CP + PQ + QD

AB + CD = 2 PQ + (AP + CP) + (QB + QD)

et comme P milieu de [AC], AP = PC  donc  AP - PC = vecteur nul donc la première parenthèse est égale au vecteur nul
comme Q milieu de [BD], la seconde parenthèse sera aussi égale au vecteur nul

Posté par
tizka
re : "Utiliser la relation de Chasles" 11-03-08 à 19:37

Merci beaucoups, j'avais totalement oublié que Q était le milieu de [DB] et P millieu de [AC].



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