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Niveau maths sup
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Valeur absolue et sinus.

Posté par
Rhegar
28-09-10 à 20:59

Bonsoir,
J'ai un soucis sur un exercice de trigonométrie (probablment lié aux fonctions circulaires).
Soit n privé de 0.
Montrer que pour tout t, |sin(nt)|n|sin(t)|.

J'ai d(abord penser à une récurrence. L'initialisation marche parfaiteemnt mais l'hérédité est plus compliquée... Je reste bloqué sur les valeurs absolues, j'obtiens bel et bien (n+1)|sin(t)| (là est le problème) 2|sin(nt)|.

Seconde méthode essayée : j'ai "cassé la valeur absolue" faisant alors apparaître une nouvelle égalité : -n|sin(t)|sin(nt)n|sin(t)|...J'ai alors recasser les valeurs absolues mais je me complique la vie ..

Avez-vous une idée merci.

Posté par
Bachstelze
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:10

Bonsoir,

x , |sin(x)| ≤ 1

Posté par
Rhegar
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:13

Bonsoir,
Cette inégalité est lié à mon développement par récurrence ?
Ou la récurrence n'est pas appropriée ?

Posté par
Bachstelze
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:16

Même pas besoin de récurrence :

|sin(nt)| ≤ 1 pour tout n est pour tout t
n|sin(t)| ≤ n pour tout t.

Puisque n ≥ 1, il vient que [sin(nt)| ≤ n|sin(t)| pour tout n et pour tout t.

Posté par
Rhegar
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:19

ôÔ ! Pourquoi n'y ai-je pas pensé !

Merci ! J'ai l'air idiot ! :p

Bonne soirée.

Posté par
Rhegar
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:24

Euh mais ça ne marche pas en fait. D'accord on a montré que n|sin(t)|n et |sin(t)|1 ! Mais on a pas montré que n|sin(t)||sin(t)...

Posté par
Rhegar
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:25

On a pas montré que n|sin(t)|1...

Posté par
Rhegar
re : Valeur absolue et sinus. 28-09-10 à 21:37

Je me trompe ???

Posté par
pierrecarre
re : Valeur absolue et sinus. 29-09-10 à 08:22

Bonjour !

1) |\sin(1\,t)|\leq1\,|\sin(t)| : évident !
2) Pour tout k\geq1 : |\sin(k\,t)|\leq k\,|\sin(t)| implique |\sin((k+1)t|\leq(k+1)\,|\sin(t)|.

En effet,

|\sin((k+1)t|=|\sin((kt)\,\cos(t)+\sin(t)\,\cos(kt)|\leq|\sin(kt)\,\cos(t)|+|\sin(t)\,\cos(kt)|\leq k\,|\sin(t)|\,|\cos(t)|+|\sin(t)|\,|\cos(kt)|\leq k\,|sin(t)|+|\sin(t)|=(k+1)\,|\sin(t)|.

Cordialement,

r2.

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