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valeur propre , vecteur propre d'une matrice

Posté par Bolzano (invité) 22-11-07 à 22:47

bonsoir a vous , je dois determiner les valeur propres et vecteurs propres possible de la matrice
  (5 7)
A=(7 8)
je vient de commencer le chapitre et je vois pa trop comment faire ? merci de bien vouloir me guider
bolzano

Posté par
raymond Correcteur
valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 22:53

Bonsoir.

As-tu appris à calculer le polynôme caractéristique ?

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 22:54

oui c'est ce que j'ai fait en premier : je trouve x² -13 x  -9 le probleme c'est que je ne trouve pa de racine simple ..

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 22:57

Je trouve le même résultat que toi. Il y a deux racines réelles distinctes qui effectivement ne sont pas "simples", mais les valeurs propres ne sont pas forcément des réels simples.

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 22:58

et ces racines que je peux determiné correspondent aux valeurs propres?

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:00

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:01

oki je te remercie de ton aide .c cool

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:02

Une dernière chose : est-tu sur(e) de la matrice de ton énoncé ?

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:06

oui c'est bien  5 7  par contre ya un truc qui me turlupine comment je fais
                7 8
pour determiner les vecteurs propres car j'ai trouvé (13-sqrt(178)) /2et son homologue en + ..

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:07

comme valeurs propres ,( jai oublier de preciser)

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:11

Moi je trouve :

3$\textrm r_1 = \fra{13+\sqrt{205}}{2} \ r_2 = \fra{13-\sqrt{205}}{2}

Tu cherches X(x,y) non nul tel que AX = r1X, puis X'(x',y') non nul tel que AX' = r2X'

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:15

a oui j'avais fait une erreur de calcul , oki ben je regarde sa et jpeux te renvoyer un message si je n'y arrive pas ou pour te montrer mes resultats?

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:17

Essaie de faire les calculs en remarquant que le système que tu obtiens est par définition de rang 1, donc, tu peux te contenter de trouver une solution non nulle obéissant à la première équation.

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:21

ouic'est ce que jobtient : jobtient le vecteur ((-3+sqrt(205))/2 ;7)

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:21

pour r1

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:28

Après avoir multiplié les coordonnées par 2 pour éviter les fractions, je trouve :

3$\textrm X = {14\choose 3+\sqrt{205}}

Pour l'autre :

3$\textrm X^' = {14\choose 3-\sqrt{205}}

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:31

oki jobtient la meme chose sauf ke jai gardé la fraction
ca veut dire que l'espace propre est l'ensemble formé par ces deux x trouvés?
E={X,X'}

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:38

Non, cela signifie que :

Le sous-espace propre associé à la valeur propre r1 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur X.

Donc : E(r1) = {k.X, k2$\in\mathbb{R}}

De même : E(r2) = {k.X', k2$\in\mathbb{R}}

Remarque que tes deux droites vectorielles sont orthogonales (ta matrice de départ est symétrique réelle).

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:43

a d'accord et tout matrice symetrique est diagonalisable donc sa marrange pour la suite

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:45

j'ai donc E(r1)=vect (X) et E (r2) = vect (X')

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:47

Exactement.

Posté par Bolzano (invité)re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:52

bon ben jcroi que j'ai cerné le principe , en tout cas un grand merci a toi davoir pris de ton temps pour me guider bonne soiré ou nuit et encore merci

Posté par
raymond Correcteur
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice 22-11-07 à 23:57

Heureux d'avoir pu t'aider.

Bonne nuit. A plus RR.

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