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valeurs propres et vecteurs propres
bonjour,
j'ai la question suivante que je n'arrive pas à résoudre :
Soient E un C espace vectoriel de dimension n et f,g deux endomorphismes de E.
On suppose que f et g ont chacun des valeurs propres distinctes.
il faut démontrer que les propriétés suivante sont équivalentes :
1. fog = gof
2. f et g ont les mêmes vecteurs propres.
je vous remercie des indications que vous pourrez m'apporter.
M-Laure
bonsoir
j'ai un doute sur une hypothèse formulée :
les valeurs propres de f sont distinctes des valeurs propres de g
OU BIEN
f possède n valeurs propres distinctes et g aussi ?
et donc f (tout comme g) possède n valeurs propres distinctes et n sous espaces propres de dimension 1... c'est à dire qu'il existe une base de vecteurs propres de f... et une base de vecteurs propres de g
1
2
u vecteur propre de f associé à la valeur propre "a"
f(u)=au
f(g(u))=g(f(u))=g(au)=ag(u) (en utilisant l'hypothèse 1)
g(u) vecteur propre de f associé à "a"
g(u) colinéaire à u (puisque chaque sous espace propre est de dimension 1)
u est un vecteur propre de g
La même démo fonctionne évidemment dans l'autre sens : tout vecteur propre de g en est un de f
Ce qui montre 2
21
On écrit les matrices dans une base commune de vecteurs propres... elles sont diagonales... donc elles commutent... ce qui prouve 1
MM
je te remercie beaucoup... je pense avoir compris le raisonnement.
sauf une chose : pourquoi est -il évident que des matrices diagonales commutent?
merci encore de ton aide.
M-Laure
mais oui, bien sûr... c'est évident...
je suis mal réveillée moi...
merci beaucoup.
j'ai tout compris!!
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