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variable aléatoire discrète sans mémoire

Posté par
Chelle89
25-01-11 à 18:59

Bonjour,

Je bloque actuellement sur un exercice de probabilité...
Voici l'énoncé :
Soit T une variable aléatoire à valeurs dans N* qui est sans mémoire ie :
P(T>m+n/T>n)=P(T>m) (m,n € N)
Montrer que T suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre p


J'ai donc dit que les seules variables dans le cas discret vérifiant la propriété d'absence de mémoire était celles de loi géométrique, j'ai supposé que T suivait une loi géométrique, puis calculer de chaque côté de l'égalité pour montrer que  
                                    P(T>m+n/T>n)=P(T>m)=(1-p)^m

Maintenant je n'arrive pas à déterminer le paramètre p, j'ai tenté de calculé l'espérance d'une part avec la définition (en passant par l'intégrale) et en disant que c'était égale à 1/p ... mais ca n'aboutit à rien...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'orienter, me donner des pistes...

Merci d'avance.

Posté par
kybjm
re : variable aléatoire discrète sans mémoire 25-01-11 à 19:35

Si tu poses , pour n , u(n) = P[X > n] tu as :  u(p+q) = u(p)u(q) pour tout (p,q) *² donc : si a = u(1) tu as u(2) = a² ,...  

Posté par
Chelle89
re : variable aléatoire discrète sans mémoire 25-01-11 à 19:58

On obtient que u est une suite géométrique de terme général  u(n) = a^n, donc ici, on peut dire que la probabilité de P[T>n] est une suite géométrique de raison (1-p)
Mais je ne vois pas très bien à quoi cela va nous servir...

Posté par
kybjm
re : variable aléatoire discrète sans mémoire 25-01-11 à 22:29

Pour tout n > 0 on a : P[T = n] = P[T > n - 1] - P[T > n] = an-1 - an = (1 - a)an-1

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