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variables aléatoires 3

Posté par Profil etudiantilois 23-05-16 à 19:34

Bonsoir,

Je n'arrive pas à faire l'exercice suivant :

Dans une urne on dispose de cinq boules indiscernables au toucher : trois vertes numérotées de 1 à 3 et deux rouges numérotées 4 et 6.
Règle du jeu : La partie consiste à tirer successivement deux boules au hasard, en remettant la première boule dans l'urne pour le second tirage. Si les deux boules tirées sont de même couleur, la partie est perdue. Sinon, le joueur remporte le montant en euros égal au nombre
formé en prenant le chiffre de la boule verte pour les dizaines et celui de la boule rouge
pour les unités (ainsi le tirage vert 2 et rouge 4 remporte 24 e). Soit X la variable aléatoire représentant le gain du joueur.

Question 0 : Quel est l'univers ?

1/ a) Donner la loi de probabilité de la variable X et son espérance.
b) On souhaite rendre le jeu équitable. Pour cela on fait payer la partie a e. Quelle
valeur choisir pour a ?
2/ On suppose dans la suite que la mise est égale à la valeur trouvée précédemment.
a) Calculer la probabilité de l'évènement A : « Le joueur réalise un gain strictement
positif »
b) Le joueur fait 5 parties de suite. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins
une fois ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : variables aléatoires 3 23-05-16 à 19:49

salut

au lieu de poster des exercices à tout va finis les précédents ....

Posté par
LeDino
re : variables aléatoires 3 23-05-16 à 20:08

Univers = O = {1,2,3,4,6} x {1,2,3,4,6}    

Faire un arbre ou un tableau des issues, avec la valeur de X pour chaque cas.
NB :  Il manque l'information sur la perte (on suppose que X = 0 dans ce cas, mais est-ce le cas ?).

              1        2        3       4       6
1        11     12     13       0       0
2        21     22     23       0       0
3        31     32     33       0       0
4           0        0        0    44    46
6           0        0        0    64    66


Pour l'espérance sommer les valeurs et diviser par 25.
En déduire  a.
Retrancher  a  du tableau des gains, repérer les gains positifs, les dénombrer et diviser par 25 pour avoir P(A).
Puis 1 - (1-P(A))^5 pour la dernière question...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 20:29

Merci pour votre réponse.

Je ne comprends pas la notation de votre univers...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 21:42

up...

Posté par
malou Webmaster
re : variables aléatoires 3 23-05-16 à 21:46

si j'osais...je dirais que c'est comme pour les 2 dés...sauf que l'on a 5 possibilités au lieu de 6
arbre ou tableau croisé encore....

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:01

Je n'y arrive pas...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:04

malou, aidez-moi...

Je vais rater mon contrôle de demain...

Posté par
malou Webmaster
re : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:07

On t'a aidé.
Un conseil : vas dormir.

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:08

Mais je ne peux pas sans avoir fait cet exercice...

J'arrive pas à trouver l'univers...

J'angoisse de plus en plus...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:11

au secours......

Il faut que je réussisse cet exercice sinon je vais pas pouvoir dormir...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:15

up........................

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:20

AU SECOURS !!

Posté par
malou Webmaster
re : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:23

non, mais ça va pas, toi......
dernier message : l'univers écrit par le Dino :
c'est l'ensemble de tous les couples construits avec 1,2,3,4,5 en 1er élément
et 1,2,3,4,5 en 2e élément
et le Dino t'a même fait le tableau croisé
et il t'a mis des couleurs pour savoir si tu gagnais ou perdais....

c'est exactement la même chose que pour les 2 dés, j'ai dit


la notation qu'il a employée est la notation de produit cartésien

E\times F =\left\lbrace{(x;y)\text{ tel que }x\in E \text{ et } y\in F\right\rbrace

Bonne nuit.

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:24

En fait je ne comprends pas la différence entre avec remise et sans remise...

Pourriez-vous me l'expliquer svp ?

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:28

up...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:30

help malou svp ...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:37

je ne comprends pas la différence entre avec remise et sans remise...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:43

Merci d'être partie malou...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 22:48

up...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 23:01

aidez-moi svp...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 23-05-16 à 23:23

up.....................

Posté par
LeDino
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 00:46

Bonsoir,

Tirage avec remise :
Au premier tirage on tire une boule qui a un numéro qui peut valoir :   1, 2, 3, 4, 6  et qu'on note A.
Le deuxième tirage se fait "avec remise", ce qui signifie qu'on remet en jeu la boule qui a été tirée en premier.
Donc le deuxième tirage est similaire au premier et le numéro peut valoir :   1, 2, 3, 4, 6   qu'on note B.

Univers :
Ce qu'on appelle l'univers, c'est l'ensemble O de toutes les issues possibles pour l'expérience.
Donc O est l'ensemble de tous les couples (A,B). Il y en a 5*5 = 25.

Il y a plusieurs façons d'écrire O.
En voici une :   O = {1,2,3,4,6} x {1,2,3,4,6}
Cela revient à faire un tableau avec en ligne  1,2,3,4,6  et en colonne  1,2,3,4,6.

Voici à quoi ressemble le tableau représentant l'univers O :

AB       1        2        3       4       6
1        11     12     13     14    16
2        21     22     23     24    26
3        31     32     33     34    36
4        41     42     43     44    46
6        61     62     63     64    66

Comme  O  comprend  25  issues équiprobables, la probabilité de chaque valeur AB est de 1/25 = 0.04 = 4%

Loi de X :
Donner la loi de X consiste à donner la probabilité de chaque valeur de X.
Pour trouver les valeurs de X,  on part des valeurs de AB et on applique l'énoncé.
Si A=B : c'est perdu. On suppose alors que X = 0.
Si A est différent de B : on gagne la plus petite somme entre AB et BA.
Exemple : si AB = 24 alors la somme gagnée est 24. Si AB=42 on gagne 24.
En effet, la boule verte (1,2,3) donne la dizaine... et la rouge (4,6) l'unité.

Voici les valeurs possibles pour X :

X         1         2         3        4        6
1          0         0        0      14     16
2          0         0        0      24     26
3          0         0        0      34     36
4        14     24     34         0        0
6        16     26     36         0        0

On alors peut récapituler chaque valeur de X, suivie du nombre de manières de l'obtenir :
14 :      2 manières
24 :      2 manières
34 :      2 manières
16 :      2 manières
26 :      2 manières
36 :      2 manières
   0 :   13 manières

D'où la loi de X :
P(X = 0€)     =  13/25  =  0.52  =  52%
P(X = 14€)  =     2/25  =  0.08  =    8%
P(X = 24€)  =     2/25  =  0.08  =    8%
P(X = 34€)  =     2/25  =  0.08  =    8%
P(X = 16€)  =     2/25  =  0.08  =    8%
P(X = 26€)  =     2/25  =  0.08  =    8%
P(X = 36€)  =     2/25  =  0.08  =    8%

Espérance de X :
E(X) = 0.52 * 0 + 0.08 * (14 + 24 + 34 + 16 + 26 + 36) = 12
E(X) = 12

Jeu équitable :
Il faut une espérance nulle.
Il suffit donc de retrancher  a = 12  à  X.  On fait donc payer  12€  la partie.

Probabilité A :
P(partie gagnante) = 12/25 = 0.48 = 48%
Car sur  25  issues,  seules  12  sont gagnantes  (avec X > 12).

Probabilité de au moins  1  victoire sur  5  parties :
P(Victoires > 0) = 1 - P(Victoires=0) = 1 - (1-P(A))^5 = . . .

Posté par
LeDino
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 00:46

NB: Mon tableau de 20:08 était erroné (j'avais lu l'énoncé trop vite)...

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 24-05-16 à 09:21

Merci beaucoup ! Et si il n'y avait pas eu de remise, qu'est-ce qu'on aurait fait ?

Posté par
malou Webmaster
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 09:28

on aurait pu faire un arbre
5 tirages possibles la première fois
seulement 4 tirages ensuite au bout de chaque branche

ou bien un tableau croisé, mais en neutralisant certaines cases, ceci dû aux seconds tirages interdits

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 24-05-16 à 09:36

OK, merci.

Des conseils pour mon contrôle de maths, pour rester calme ?

Posté par
verdurin
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 09:51

Bonjour,
si il n'y a pas remise, il suffit de supprimer les cas où on tire deux fois la même boule du tableau qu'a donné LeDino


X      1         2         3        4        6 
1     N    0    0   14  16 
2     0    N    0   24  26
3     0    0    N   34  36
4     14   24   34   N   0
6     16   26   36   0   N

Posté par Profil etudiantiloisre : variables aléatoires 3 24-05-16 à 10:21

Merci beaucoup pour votre réponse.

Avez-vous des conseils pour ne pas paniquer en contrôle ?

Posté par
malou Webmaster
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 10:29

souffler un grand coup et te dire que tu as travaillé...
être posé pour ne pas avoir à tout refaire sans cesse : il vaut mieux bien du 1er coup que rechercher une erreur
ensuite quand on a une erreur de calcul qu'on ne retrouve pas : on prend un autre papier, et sans regarder le 1er calcul, on le refait...sinon, tu reliras 20 fois, et tu passeras toujours au dessus...

si tu as la trouille, c'est que tu as travaillé...ceux qui n'ont rien fait, n'ont même pas la notion de ce qu'il y a à savoir, et n'ont pas la trouille en général !!

allez, bon courage ! respire un grand coup !

Posté par
LeDino
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 11:36

En général, la pression est plutôt un allié que l'inverse.
Elle fait monter l'adrénaline, et celle-ci te pousse à réagir et aller au-delà de ce dont tu es capable habituellement.

Donc sauf si tu es coutumier de la panique (ce qui arrive à certains, mais qui est assez rare et peut se travailler...), tu dois juste rester concentré et vigilant et tout ira bien .

---
En cas de panique, un truc physique valable pour toutes les situations de la vie : prendre un temps bref de repos et faire un exercice respiratoire de relaxation. Il y en a plusieurs, mais un très simple consiste à ralentir son cycle de respiration en augmentant son ampllitude (inspirer lentement et profondément, expirer lentement et à fond... comme le font les apnéistes quand ils abaissent leurs pulsations cardiaques). Tu fais ça progressivement, en douceur, en comptant tes cycles... 5 cycles  suffisent dans bien des cas. 10 maximum. C'est l'affaire d'une minute ou deux...

Et après ça tu torches ton DS et tu peux même t'aligner à la prochaine compétition du Grand Bleu ...

Posté par
LeDino
re : variables aléatoires 3 24-05-16 à 11:36

Citation :
... respire un grand coup !
Je vois que malou connaissait déjà mon "truc" ...



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