Bonjour à tous,
J'ai un problème avec cet exercice:
Soit (X1;X2; :::;Xn) n variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées de variance sigma1² > 0. Soit Y une variable aléatoire réelle, indépendante de
(X1;X2; ... ;Xn), de variance sigma2² > 0.
On note I la matrice identité de taille n*n, et J la matrice de terme constant 1/n de taille n*n, enfin on note M la matrice de variance-covariance de (Y +X1; Y +X2; ... ; Y +Xn)
(on rappelle que le terme mi;j de M est Cov(Y + Xi; Y + Xj)).
Question 1 : 1. Montrer que M = an I + bn J, avec an et bn que l'on exprimera en fonction de
n; sigma1² et sigma2²
Je trouve M=Var(Y)= sigma2², ce qui ne semble pas cohérent avec le reste de l'exercice…
Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour cette première question ?
Merci beaucoup.
Bonjour,
En fait, je trouve sur la diagonale que Cov(Y + Xi; Y + Xi)=var(Y+Xi)=var (X) +var (Y) car Y est indépendante des Xi.
Et en dehors de la diagonale je suis coincé...
Est-ce que quelqu'un peut m'aider?
Merci beaucoup.
Bonjour veleda,
Merci pour ta réponse.
Donc pour i différent de j, on a bien trouvé le même résultat: var(Y).
Mais pour i=j, j'ai
Cov(Y + Xi; Y + Xi)=var(Y+Xi)=var (X) +var (Y),
Soit M=(12+22) I + n22 J
Tu confirmes?
sur la diagonale tu as c'est bien ce que tu as trouvé,ecris les tableaux des deux matrices ettu verras que c'est bien cela
[tex]Bonjour,
En refaisant le problème ce matin, je pense que je me suis trompé:
En fait M=(12 + 22 - n*12) I + n 12 J
Sinon on compte n 12 en trop sur la diagonale.
J'ai ensuite la question 2: Montrer que M2=n M + n I . Avec n et n que l'on exprimera en fonction de n; 12 et 22.
Donc la j'ai M*M= an2 I + bn2 J + 2anbn I
=anbn I +bn2 J + (2n2 - anbn) I
= bn M + an(an-bn) I
J'ai donc trouvé n et n
Question 3: En déduire que M est inversible.
Comment justifier ceci correctement?
Question 4
Montrer que M-1=n I + n j.Avec n et n que l'on exprimera en fonction de n; 12 et 22.
Je trouve comme M est inversible, M-1 M = I
donc (n I + n J)* (an I + bn J) = I
J'ai donc le système:
nan+ann=1
et
n+bn+n+bn=0
soit n=(1+ 1/ab ) / (-1 + 1/b)
et n=(1+ 1/a ) / (1 - 1/b)
Et (enfin !) la dernière question: quelle est la limite
de n/n quand n tend vers +
Je trouve -1 car an et bn tendent vers - et +
Est ce que quelqu'un peut confirmer les résultats que j'ai trouvé?
MERCI !!!
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