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Niveau Licence Maths 1e ann
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variance-covariance

Posté par
Facker
03-09-09 à 21:21

Bonjour à tous,

J'ai un problème avec cet exercice:

Soit (X1;X2; :::;Xn) n variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées de variance  sigma1² > 0. Soit Y une variable aléatoire réelle, indépendante de
(X1;X2; ... ;Xn), de variance sigma2² > 0.
On note I la matrice identité de taille n*n, et J la matrice de terme constant 1/n de taille n*n, enfin on note M la matrice de variance-covariance de (Y +X1; Y +X2; ... ; Y +Xn)
(on rappelle que le terme mi;j de M est Cov(Y + Xi; Y + Xj)).

Question 1 : 1. Montrer que M = an I + bn J, avec an et bn que l'on exprimera en fonction de
n; sigma1² et sigma2²

Je trouve M=Var(Y)= sigma2², ce qui ne semble pas cohérent avec le reste de l'exercice…

Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour cette première question ?

Merci beaucoup.

Posté par
Facker
re : variance-covariance 04-09-09 à 12:04

Bonjour,

En fait, je trouve sur la diagonale que Cov(Y + Xi; Y + Xi)=var(Y+Xi)=var (X) +var (Y) car Y est indépendante des Xi.

Et en dehors de la diagonale je suis coincé...

Est-ce que quelqu'un peut m'aider?

Merci beaucoup.

Posté par
veleda
re : variance-covariance 04-09-09 à 18:51

bonjour,
si j'ai bien compris le texte
si i est différent de j on a
m_{i,j}=cov(Y+X_i,Y+X_j)=V(Y)=\sigma_2^2=>M=\sigma_1^2I+n\sigma_2^2J

Posté par
Facker
re : variance-covariance 04-09-09 à 19:17

Bonjour veleda,

Merci pour ta réponse.

Donc pour i différent de j, on a bien trouvé le même résultat: var(Y).

Mais pour i=j, j'ai

Cov(Y + Xi; Y + Xi)=var(Y+Xi)=var (X) +var (Y),

Soit M=(12+22) I + n22 J

Tu confirmes?

Posté par
veleda
re : variance-covariance 04-09-09 à 19:30

sur la diagonale tu as \sigma_1^2+\sigma_2^2c'est bien ce que tu as trouvé,ecris les tableaux des deux matrices \sigma_1^2Ietn\sigma_2^2Jtu verras que c'est bien cela

Posté par
Facker
re : variance-covariance 05-09-09 à 11:08

[tex]Bonjour,

En refaisant le problème ce matin, je pense que je me suis trompé:

En fait M=(12 + 22 - n*12) I + n 12 J

Sinon on compte n 12 en trop sur la diagonale.

J'ai ensuite la question 2: Montrer que M2=n M + n I . Avec n et n que l'on exprimera en fonction de n; 12 et 22.


Donc la j'ai M*M= an2 I  + bn2 J + 2anbn I

=anbn I +bn2 J + (2n2 - anbn) I

= bn M + an(an-bn) I

J'ai donc trouvé n et n


Question 3: En déduire que M est inversible.

Comment justifier ceci correctement?

Question 4
Montrer que M-1=n I + n j.Avec n et n que l'on exprimera en fonction de n; 12 et 22.


Je trouve comme M est inversible, M-1 M = I
donc (n I + n J)* (an I + bn J) = I

J'ai donc le système:
nan+ann=1
et
n+bn+n+bn=0

soit n=(1+  1/ab ) / (-1 + 1/b)
et n=(1+  1/a ) / (1 - 1/b)

Et (enfin !) la dernière question: quelle est la limite
de n/n quand n tend vers +

Je trouve -1 car an et bn tendent vers - et +


Est ce que quelqu'un peut confirmer les résultats que j'ai trouvé?

MERCI !!!

Posté par
veleda
re : variance-covariance 06-09-09 à 08:37

bonjour,
question 3)
si l'on a
M^2=\gamma_nM+\delta_nI<=>M(M-\gamma_nI)=\delta_nI
si \delta_nest non nul on en déduit M(\frac{M-\gamma_nI}{\delta_n})=Idonc M^{-1}=\frac{M-\gamma_nI}{\delta_n}....

Posté par
veleda
re : variance-covariance 06-09-09 à 11:18

je reviens à la 2),il me semble que tes coefficients sont inexacts
M=a_nI+b_nJ=>M^2=a_n^2I+2a_nb_nIJ+b_n^2J^2
J^2=J=>M^2=a_n^2I+2a_nb_nJ+bn^2J=a_n^2I+(2a_n+b_n)b_nJ
mais b_nJ = M-a_nI=>M^2=a_n^2I+(2a_n+b_n)(M-a_nI)=(2a_n+b_n)M-(a_n+b_n)I=\gamma_nM+\delta_nI sauf erreur de calcul de ma part



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