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Vecteur gradient perpendiculaire a la tangente.
Voici les éléments de l'énoncé :
f(X) = f(x1,x2) = 3x12 - 2x1x2 + x22
J'ai déterminer l'équation de la tangente en A(2,1) et j'ai trouvé z = 2x + 2y - 3 (j'ai remplace x1 par x et x2 par y pour plus de simplicité)
Pour les dérivées partielles j'ai trouvé :
df(x,y)/dx = 6x - 2y et df(x,y)/dy = -2x + 2y
Le gradient de f en A(1,2) doit donc être : (2,2)
Comment doit-je procéder pour montrer que le gradient est perpendiculaire à l'équation de la tangente. Est-ce que j'ai commis une erreur quelque part ? Merci.
La droite qui passe par l'origine parallèle à la tangente est 2x+2y=0 c'est-à-dire y=-x. (1,-1) est une base de ce sous-espace vectoriel.
plus généralement c'est souvent très utile de savoir utiliser tres rapidement le vecteur normal
pour une droite
ax+by=c
si M=(x,y) et M'=(x',y') sont sur la droite
a(x-x')+b(y-y')=0
donc (a,b) est orthogonal à vecteur MM' donc à la droite
pour un plan dans l'espace
ax+by+cz=d
si M=(x,y,z) et M'=(x',y',z') sont dans le plan
a(x-x')+b(y-y')+c(z-z')=0
donc (a,b,c) est orthogonal à un vecteur MM' quelconque du plan
c'est donc un vecteur normal au plan
réciproquement connaissant le vecteur normal à une droite ds le plan ou à un plan ds l'espace on a tout de suite presque toute l'équation
pour une droite
ax+by=?
pour une plan dans l'espace
ax+by+cz=?
il reste à trouver le ? en prenant un point sur la droite ou ds le plan
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