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vecteurs

Posté par
suzana1616
11-09-16 à 01:21

Bonjour,

j'aimerai avoir des explications, j'ai tracé les points sur le plan cartésien mais je n'y arrive toujours pas. voici ce que ça dit:

On considère les points A(-1,2), B(2,4), C(2,-3) et D(4,0). Trouve la mesure de l'angle entre les vecteurs AB et CD.

Merci d'avance!

Posté par
patrice rabiller
re : vecteurs 11-09-16 à 06:28

Bonjour,

Il faut :
1) Calculer les distances AB et CD
2) Il faut calculer les coordonnées des vecteurs \vec{AB} et \vec{CD}
3) Calculer le produit scalaire \vec{AB}.\vec{CD} en utilisant la formule xx'+yy'
4) Se rappeler que le produit scalaire de 2 vecteurs peut se calculer avec une autre formule (qui utilise le cosinus de l'angle entre les 2 vecteurs).
5) En déduire le cosinus de l'angle, puis la valeur de l'angle

Posté par
suzana1616
re : vecteurs 11-09-16 à 21:32

Merci beaucoup!, je crois que j'ai trouvé.


Toutefois, que représente concrètement  le produit scalaire(je connais les deux formules), mais que représente le produit scalaire géométriquement...?

Aussi, existe-t-il un produit scalaire pour deux droites parallèle?

Merci infiniment.

Posté par
patrice rabiller
re : vecteurs 12-09-16 à 05:31

En géométrie, le produit scalaire est surtout utilisé pour calculer des distances ou des angles, comme dans cet exercice.
On peut imaginer que le produit scalaire de 2 vecteurs est :
- positif lorsque l'angle est aigu (entre 0 et 90°), négatif dans les autres cas
- nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux,
- d'autant plus grand (en valeur absolue) que les vecteurs ont des normes élevées.

Le produit scalaire n'est pas très utile pour le parallélisme. Il vaut mieux utiliser le déterminant des 2 vecteurs (hors programme de première). Cependant, si 2 vecteurs sont colinéaires, alors leur produit scalaire est égal au produit de leurs normes (au signe près). En effet, dans ce cas, le cosinus de l'angle est égal à 1.

Posté par
suzana1616
re : vecteurs 12-09-16 à 14:53

Super, très bien expliqué!

Si je peux me permettre une dernière question:

Si j'ai un vecteur u de norme 2 et 140od'orientation:

pour calculer  sa projection, sa norme  faut-il utiliser l'angle de 400: 2cos40 puisque triangle rectangle  et ajuster le signe au négatif  ou
2cos140= -1,53. (ça revient à la même chose, mais comment on peut utiliser cos140   alors que le de triangle n'est pas rectangle, dans le sens anti-horaire?

En d'autres termes, Est-ce que j'ai le droit de généraliser et de prendre toujours l'angle anti-horaire(140 au lieu 40? ,
merci pour la réponse, ça m'aidera à mieux dormir

Posté par
patrice rabiller
re : vecteurs 12-09-16 à 17:13

Bonjour,

Pour comprendre, la question, je suppose que le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,\vec i,\vec j), et que ||{\vec u}||=2 et (\vec{i},\vec{u})=140°.

Dans ce cas de figure, l'angle (\vec i,\vec u) est obtus. Le projeté orthogonal de \vec u sur l'axe (O,\vec i) est un vecteur de sens contraire à \vec i. Sa norme est égale à |2\times\cos(140°)|, ce qui revient, en effet, à 2\times\cos(40°).

Si on note \vec{u'} le projeté de \vec u sur l'axe (O,\vec i) alors on a : \vec u .\vec i=\vec{u'}.\vec i=-||\vec{u'}||\times||\vec i||



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