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Niveau Maths sup
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Vecteurs propres d'une matrice d'ordre n

Posté par
remi1507
03-06-09 à 19:58

Bonjour à tous !
On me demande de déterminer un vecteur non nul (x1,....,xn) de n tel que
An(x1,....,xn)=k(x1,....,xn) ((x1,....,xn) est une matrice colonne
et An=(ai,j avec (i,j){1..n}²,
               si |i-j|=1, ai,j=-1
               si i=j, ai,j=2
               sinon ai,j=0).
En sachant que k{1...n}, k=2(1-cos(k/(n+1))) et que l'ensemble des k est l'ensemble des valeurs propres de An (donc det(An-kIn)=0).
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
veleda
re : Vecteurs propres d'une matrice d'ordre n 03-06-09 à 22:12

bonsoir,
tu dois donc résoudre le système
A_n.X=\lambda{X}
soit
x_2=(\lambda-2)x_1
-x_{i+2}+(2-\lambda{x_{i+1}}-x_i=0 (2)i[1,n-2]
x_{n-1}=(\lambda-2)x_n
le texte te donne les n valeurs de la matrice est diagonalisable on le savait puisqu'elle est réelle symétrique

pour chaque valeur de tu fais la résolution du système que j'ai écrit
x_1est un réel non nul sinon tous les x_isont nuls
sais-tu résoudre (2) récurrence linéaire d'ordre 2 ?on cherche les suites géométriques non nulles solutions

Posté par
dolma
re : Vecteurs propres d'une matrice d'ordre n 04-06-09 à 00:54

Bonsoir,

Hum, y'a juste une petite erreur de signe dans ta première et troisième équation.

En effet, l'équation 3$A_n X = \alpha_K X équivaut à 3$(A_n - \alpha_K I_n)X=0

*Ainsi, la première équation du système serait : 3$\sum_{i=1}^n b_{1,i} x_i = 0   (Si on note 3$B = A_n-\alpha_K I_n=(b_{i,j})_{(i,j)\in[|1,n|]^2})

Or, 3$\{\array\forall j\ge 3, b_{1,j}=0\\b_{1,1}=(2-\alpha_K)\\b_{1,2}=-1\

Donc, l'équation devient : 3$(2-\alpha_K)x_1+(-1)x_2=0

Donc, 3$x_2=(2-\alpha_K)x_1  (et non pas x_2=(\alpha_K-2)x_1 !)

*Il en va de même pour la derniere equation qui est en fait :

3$(-1)x_{n-1}+(2-\alpha_K)x_n=0

et donc : 3$x_{n-1}=(2-\alpha_K)x_n

*Cependant, toutes les autres équations sont les bonnes : 3$\forall i\in [|1,n|], -x_i+(2-\alpha_K)x_{i+1}-x_{i+2}=0

*En ce qui concerne la résolution de ces dernières, la méthode "longue" consiste à utiliser les matrices et sinon il suffit d'utiliser directement la formule pour les suites doublement récurrentes.

Salut

Posté par
veleda
re : Vecteurs propres d'une matrice d'ordre n 04-06-09 à 07:03

bonjour,
cela "s'arrange "bien avec la formule pour les suites doublement récurrentes
pour k fixé les solutions de l'équation caractéristique sont r_1=e^{i\frac{k\pi}{n+1}},r_2=e^{-i\frac{k\pi}{n+1}} sauf erreur



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