Bonsoir tout le monde!
Voila, en fait en ce moment, j'essaie de faire un sujet du concours G2E que nous as donné un professeur et... rien que les premières questions me posent problème, pourtant, j'ai refais des exercices de bases avant de m'y attaquer...
Voila les questions qui me posent problème:
PROBLEME 1:
1- soit fi une fonction définie, continue, déribale sur . On veut montrer que quel que soit (x,y), fi(x+y)=fi(x)fi(y)quel que soit x, fi(x)=exp(ax).
On nous dit de considérer y réel quelconque fixé et de dériver fi(x+y), puis de prouver que fi est 'unique solution de l'équa diff: z'(y)=z'(0)z(y), z(0)=1. Bon la, déja, je trouve que fi'(x+y)=fi'(x)fi(y) d'ou fi vérifie bien les deux conditions sur z... Mais après je dois prouver que nécessairement, z=fi ou c'est bon? Bref, en ayant prouvé ça, après je vois pas pourquoi fi(x)=exp(ax)... en fait, je vois juste que fi(y)=exp(fi'(0)*y).
Bref, ensuite on considère E l'ensemble des matrices:
M(x)= (f(x); h(x)) telles que M(x+y)=M(x)M(y).
      (g(x); k(x))
Donc en considérant que (x) est une valeur propre réelle ou complexe de M(x), et que la dimension du sous espace propre associé est de 1, il faut montrer que pour tout y, les vecteurs propres de x sont vecteurs propres de y, sachant que M(x) et M(y) commutent.
La, j'ai essayé de calculer M(x)M(y) et M(y)M(x) d'ou une égalité:
h(x)g(y)=h(y)g(x) mais après...? M(y)M(x)X=M(y)X=M(x)M(y)X...
Bref, je ne vois pas trop quoi faire... Comment utiliser le fait que le sous espace associé est de dimension 1?
Voila...
Merci d'avance de votre aide!