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vérifications exo limite

Posté par
xxDontknowxx5980
09-02-16 à 22:57

Bonsoir,
Pouvez-vous vérifiez si mes réponses à cet exercice assez long sont correctes ? Merci !

On admettra les résultats suivants :
• Une courbe d'équation y = f1(x) est asymptote à la courbe (qui peut être une droite) d'équation y = f2(x) en ±∞ lorsque lim
x→±∞ f1(x) − f2(x) = 0.

Partie A :
Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = (−x 2 + x + 1)e−2x +12 et on note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé, noté R, avec pour unité graphique 2 cm.

1. Étudier les variations de g.

Ma réponse :

g'(x)=e-2x(2x²-4x-1)
g'(x) est positive sur ]- oo;(2-√6)/2[, elle s'annule en x=(2-√6)/2, puis elle est négative sur ](2-√6)/2;(2+√6)/2[, s'annule ensuite en x=(2+√6)/2 et est positive sur ](2+√6)/2;+oo[ donc g est croissante sur ]- oo;(2-√6)/2], puis décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et croissante sur [(2+√6)/2;+oo[

2. Étudier la limite de g en −∞.

lim e-2x=lim1/(e2x)=+oo

limx=- oo
x->-oo

limx²=+oo
x->-oo
Donc par produit:
lim-x²=-oo
x->- oo
Donc par somme ;
lim(-x²+x+1)=- oo
x->- oo
Et donc par produit :
lim g(x)=-oo
x->-oo
x->-oo

3. a) Vérifier que, pour tout réel x 6= 0, on a : g(x) = −x 2 + x + 1
4x 2 × (−2x)2 e−2x +12.

FAIT

b) Étudier la limite de g en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.

lim e-2x=0
x->+oo

lim xex =limex=+oo
x->+oo   x->oo

Donc :
limxe -2x=lime2x=0
x->+oo    x->+oo

Et :
lim-x²e-2x=lime-2x=0
x->+oo.       x->+oo

Donc par somme :
limg(x)=1/2
x->+oo

(Par contre, j'ai un peu de mal pour l'interprétation) :
Donx , quand x tend vers +oo, g(x) est positive et se rapproche de 1/2 (ou dois-je plutôt parler d'asymptote ?)

4.Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur R.

Ma réponse :

g est strictement croissante sur ]- oo;(2-√6)/2] puis elle est strictement décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et strictement croissante sur [(2+√6)/2;+oo[,
lim g(x)=- oo
x->-oo

f((2-√6)/2)≈1,64>0, f((2+√6)/2)≈0,48>0, et
lim g(x)=1/2
x->+oo

0 appartient à [- oo;f((2-√6)/2], mais ni à [f((2-√6)/2;f(2+√6)/2], ni à [f((2+√6)/2;1/2] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=o admet 1 seule solution alpha dans
[- oo;(2-√6)/2]

6. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Ma réponse :
g est strictement croissante sur ]- oo;(2-√6)/2], f(alpha)=0 et lim g(x)=- oo
x->- oo,    puis elle est strictement décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et strictement croissante sur [(2+√6)/2;+oo[,
lim g(x)=- oo
x->-oo
Et f(x)=0 admet 1 seule solution,

Donc :
g(x) négative sur  ]- oo;(2-√6)/2]
et positive sur ]alpha ;+oo[

Partie B :
On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = ((x2 − 1)e−2x +x)/2
et on note C f sa courbe représentative dans le repère R.
1. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞.

Ma réponse après calculs :
lim f(x)= +oo =lim f(x)
x->+oo.               x->-oo

2. a) Montrer que la droite D d'équation y = x2 est asymptote à la courbe C f .

f1(x)-f2(x)= (e-2x(-x²+1))/2

lim (e-2x(-x²+1))/2=0
x->+oo

lim (e-2x(-x²+1))/2)=- oo

Donc  
lim (e-2x(-x²+1))/2=0
x->+oo et donc y=1/2, asymptote horizontale ?

4. Étudier les variations de f. On se contentera de donner une valeur approchée de f (α).

J'ai trouvé f'(x)=g(x) donc que f est décroissante sur ]- oo;alpha[, puis croissante sur ]alpha ;+oo[ et décroissante sur ]- oo;alpha[

Je peux détailler mes calculs si besoin est. Merci beaucoup !

Posté par
mdr_non
re : vérifications exo limite 09-02-16 à 23:18

bonsoir : )

Citation :
g'(x) est positive sur ]- oo;(2-√6)/2[, elle s'annule en x=(2-√6)/2, puis elle est négative sur ](2-√6)/2;(2+√6)/2[, s'annule ensuite en x=(2+√6)/2 et est positive sur ](2+√6)/2;+oo[ donc g est croissante sur ]- oo;(2-√6)/2], puis décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et croissante sur [(2+√6)/2;+oo[
Tu peux écrire les choses un peu mieux en utilisant des unions d'intervalles.

g est croissante sur ]-infini , (2 - V6)/2] [(2 + V6)/2 , +infini[ et décroissante sur [(2 - V6)/2 , (2 + V6)/2]. Pareil pour la dérivée.


Ok pour les limites.
Mais tu devrais utiliser les résultats que tu as appris. Notamment le fait qu'à l'infini un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
\lim_{x\to-\infty} -x^2 + x + 1 = \lim_{x\to-\infty} -x^2 = -\infty
Ca évitera des formes indéterminées...


Citation :
3. a) Vérifier que, pour tout réel x 6= 0, on a : g(x) = −x 2 + x + 1
4x 2 × (−2x)2 e−2x +12.

FAIT
Je ne comprends pas.


Citation :
b) Étudier la limite de g en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.

lim e-2x=0
x->+oo

lim xex =limex=+oo
x->+oo   x->oo

Donc :
limxe -2x=lime2x=0
x->+oo    x->+oo

Et :
lim-x²e-2x=lime-2x=0
x->+oo.       x->+oo

Donc par somme :
limg(x)=1/2
x->+oo

(Par contre, j'ai un peu de mal pour l'interprétation) :
Donx , quand x tend vers +oo, g(x) est positive et se rapproche de 1/2 (ou dois-je plutôt parler d'asymptote ?)
Non.

\lim_{x\to+\infty} g(x) = 12 donc y = 12 est asymptote horizontale  à Cg en +infini.
Remarque additionnelle : De plus comme g(x) - 12 = (-x^2 + x + 1)exp(-2x) > 0 au voisinage de +infini, Cg est au dessus de son asymptote.



Citation :
4.Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur R.

Ma réponse :

g est strictement croissante sur ]- oo;(2-√6)/2] puis elle est strictement décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et strictement croissante sur [(2+√6)/2;+oo[,
lim g(x)=- oo
x->-oo

f((2-√6)/2)≈1,64>0, f((2+√6)/2)≈0,48>0, et
lim g(x)=1/2
x->+oo

0 appartient à [- oo;f((2-√6)/2], mais ni à [f((2-√6)/2;f(2+√6)/2], ni à [f((2+√6)/2;1/2] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=o admet 1 seule solution alpha dans
[- oo;(2-√6)/2]
Attention, on ne ferme pas un intervalle du côté d'une borne où il y a l'infini.

Ce n'est pas le théorème des valeurs intermédiaires qu'il faut utiliser mais son corollaire.

Sinon les éléments sont là. Mais il est inutile d'écrire tout ce que tu as écrit là. Toutes ces informations se lisent très rigoureusement sur le tableau de variation de g.
Le tableau de variation est vraiment l'outil qu'il faut utiliser.



Citation :
Donc :
g(x) négative sur  ]- oo;(2-√6)/2]
et positive sur ]alpha ;+oo[
Non. g est négative sur ]-infini , alpha] et positive sur [alpha , +infini[.

Et tout ce que tu as écrit avant se lit sur le tableau de variation (il faut bien sûr mettre les infos dans le tableau de variation).

Posté par
mdr_non
re : vérifications exo limite 09-02-16 à 23:28

Citation :
Ma réponse après calculs :
lim f(x)= +oo =lim f(x)
x->+oo.               x->-oo
ok


Citation :
f1(x)-f2(x)= (e-2x(-x²+1))/2
C'est quoi f1 et c'est quoi f2 ?
On devine très bien que f1 c'est f et f2 est définie par f2(x) = x^2 mais nulle part tu ne l'as précisé.

De toute façon il n'est pas nécessaire d'introduire ces f1 et f2, écris tout simplement f(x) - x^2 = ....


Le calcul est faux.

f(x) - x^2 = [(x^2 - 1)exp(-2x) + x]/2 - x^2 = [(x^2 - 1)exp(-2x) + x - 2x^2]/2


Réécris donc correctement l'expression de f.



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