Bonsoir,
Pouvez-vous vérifiez si mes réponses à cet exercice assez long sont correctes ? Merci !
On admettra les résultats suivants :
• Une courbe d'équation y = f1(x) est asymptote à la courbe (qui peut être une droite) d'équation y = f2(x) en ±∞ lorsque lim
x→±∞ f1(x) − f2(x) = 0.
Partie A :
Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = (−x 2 + x + 1)e−2x +12 et on note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé, noté R, avec pour unité graphique 2 cm.
1. Étudier les variations de g.
Ma réponse :
g'(x)=e-2x(2x²-4x-1)
g'(x) est positive sur ]- oo;(2-√6)/2[, elle s'annule en x=(2-√6)/2, puis elle est négative sur ](2-√6)/2;(2+√6)/2[, s'annule ensuite en x=(2+√6)/2 et est positive sur ](2+√6)/2;+oo[ donc g est croissante sur ]- oo;(2-√6)/2], puis décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et croissante sur [(2+√6)/2;+oo[
2. Étudier la limite de g en −∞.
lim e-2x=lim1/(e2x)=+oo
limx=- oo
x->-oo
limx²=+oo
x->-oo
Donc par produit:
lim-x²=-oo
x->- oo
Donc par somme ;
lim(-x²+x+1)=- oo
x->- oo
Et donc par produit :
lim g(x)=-oo
x->-oo
x->-oo
3. a) Vérifier que, pour tout réel x 6= 0, on a : g(x) = −x 2 + x + 1
4x 2 × (−2x)2 e−2x +12.
FAIT
b) Étudier la limite de g en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.
lim e-2x=0
x->+oo
lim xex =limex=+oo
x->+oo x->oo
Donc :
limxe -2x=lime2x=0
x->+oo x->+oo
Et :
lim-x²e-2x=lime-2x=0
x->+oo. x->+oo
Donc par somme :
limg(x)=1/2
x->+oo
(Par contre, j'ai un peu de mal pour l'interprétation) :
Donx , quand x tend vers +oo, g(x) est positive et se rapproche de 1/2 (ou dois-je plutôt parler d'asymptote ?)
4.Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur R.
Ma réponse :
g est strictement croissante sur ]- oo;(2-√6)/2] puis elle est strictement décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et strictement croissante sur [(2+√6)/2;+oo[,
lim g(x)=- oo
x->-oo
f((2-√6)/2)≈1,64>0, f((2+√6)/2)≈0,48>0, et
lim g(x)=1/2
x->+oo
0 appartient à [- oo;f((2-√6)/2], mais ni à [f((2-√6)/2;f(2+√6)/2], ni à [f((2+√6)/2;1/2] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=o admet 1 seule solution alpha dans
[- oo;(2-√6)/2]
6. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Ma réponse :
g est strictement croissante sur ]- oo;(2-√6)/2], f(alpha)=0 et lim g(x)=- oo
x->- oo, puis elle est strictement décroissante sur [(2-√6)/2;(2+√6)/2] et strictement croissante sur [(2+√6)/2;+oo[,
lim g(x)=- oo
x->-oo
Et f(x)=0 admet 1 seule solution,
Donc :
g(x) négative sur ]- oo;(2-√6)/2]
et positive sur ]alpha ;+oo[
Partie B :
On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = ((x2 − 1)e−2x +x)/2
et on note C f sa courbe représentative dans le repère R.
1. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞.
Ma réponse après calculs :
lim f(x)= +oo =lim f(x)
x->+oo. x->-oo
2. a) Montrer que la droite D d'équation y = x2 est asymptote à la courbe C f .
f1(x)-f2(x)= (e-2x(-x²+1))/2
lim (e-2x(-x²+1))/2=0
x->+oo
lim (e-2x(-x²+1))/2)=- oo
Donc
lim (e-2x(-x²+1))/2=0
x->+oo et donc y=1/2, asymptote horizontale ?
4. Étudier les variations de f. On se contentera de donner une valeur approchée de f (α).
J'ai trouvé f'(x)=g(x) donc que f est décroissante sur ]- oo;alpha[, puis croissante sur ]alpha ;+oo[ et décroissante sur ]- oo;alpha[
Je peux détailler mes calculs si besoin est. Merci beaucoup !
bonsoir : )
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