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Volume d'un cuboctaèdre

Posté par
landes7640
06-10-09 à 19:55

bonjour j'ai un dm de maths à faire mais je suis bloquée.
Pourriez-vous m'aider??

j'ai un cube de départ d'arête 8 cm puis en prenant les milieux et en reliant ces points ont obtient un cuboctaèdre qui mesure 42

Volume d'un cuboctaèdre

on peut observer que le cuboctaèdre peut être défini comme un cube auquel on aurait retiré en ses sommets le meme tétraèdre trirectangle.

La question est :  Calculer le volume W du cuboctaèdre.


Je suis vraiment bloquée, j'ai cherché sous toute les formes et je ne vois a par en calculant le volume du cube qui est égal à 512 cm3 puis en calculant le volume d'un tétraèdre trirectangle (que je cherche) multiplié par 8 (8 tétraèdres) et les enlevés du volume du cube.
C'est a mon avis comme ça qu'il faut faire mais je n'arrive pas à calculer le volume d'un tétraèdre...


Aidez-moi s'il vous plait j'ai vraiment besoin de le réussir.

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     

Posté par
Priam
re : Volume d'un cuboctaèdre 06-10-09 à 21:53

Dessine le cube et coupe la région de l'un de ses sommets, comme il est dit dans l'énoncé, pour faire

apparaître l'un des 8 tétraèdres.

Tu calculeras facilement son volume si tu prends pour base non pas sa face délimitée par un triangle

équilatéral, mais l'une de ses autres faces contenues dans les plans des faces du cube.

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 06-10-09 à 22:14

Bonsoir
Un tétraédre a pour base un triangle équilatéral de côté 42 et de hauteur  26 dont l'aire A = 42.26/2 = 83
et les 3 autres arètes ont pour longueur 4
La hauteur du tétraèdre est un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypothénuse de longueur 4 et l'autre côté de l'angle droit a pour longueur 2.26/3 = 46/3  ( les 2/3 de la hauteur = les 2/3 de la médiane) =>
hauteur du tétraèdre = (4²-16.6/9) = 4/3
=>
Volume d'un tétraèdre = 83.4/3/3 = 32/3
=>
W = 512 - 8.32/3 = 512-256/3 = (1536-256)/3 = 1280/3  ( 5.2.(42)3/3 voir google)
A++

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 06-10-09 à 22:27

Re
En effet Priam
pour calculer le volume d'un tétraèdre il est bien péférable de prendre pour base le triangle rectangle de côtés de l'angle droit ( quel idiot je suis ; j'ai bêtement suivi l'idée de landes7640) 4 et 4 dont l'aire = 8 et la hauteur = 4  =>
=>
volume d'un tétraèdre  = 8*4/3 = 32/4
A+

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 06-10-09 à 22:31

je voulais dire volume = 32/3

Posté par
landes7640
remerciement 07-10-09 à 19:32

merci beaucoup pour votre réponse rapide!

Merci beaucoup à toi geo3 tu m'a vraiment bien aidée!
j'ai encore un peu de mal à comprendre comment tu as fais mais merci beaucoup !!!

juste une petite présision:

La hauteur du tétraèdre est un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypothénuse de longueur 4 et l'autre côté de l'angle droit a pour longueur 2.26/3 = 46/3  ( les 2/3 de la hauteur = les 2/3 de la médiane) =>
hauteur du tétraèdre = (4²-16.6/9) = 4/3


je ne comprend pas cette partie ?? pourrais tu me la détaillé (si c'est possible)


merci encore !!

Posté par
Priam
re : Volume d'un cuboctaèdre 07-10-09 à 20:16

Si on prend comme base du tétraèdre l'une de ses faces en forme de triangle rectangle isocèle, les côtés de l'angle droit d'un tel triangle ont pour longueur 4. Son aire vaut donc 4x4/2,
La hauteur du tétraèdre par rapport à cette base est un côté semblable d'une autre de ces trois faces; elle a également pour longueur 4.
Le volume du tétraèdre est donc égal à 1/3*(4*4/2)*4 = 32/3.

Posté par
landes7640
??? 07-10-09 à 20:25

juste question pour toi geo3:

l'aire A = 42.26/2 = 83



ce n'est pas plutot 83/2 ???

Posté par
landes7640
??? 07-10-09 à 20:35

une dernière question:

je comprend pas le volume W,  
W = 512 - 8.32/3 = 512-256/3 = (1536-256)/3 = 1280/3

d'ou viens le (1536-256)?????

Posté par
landes7640
priam 07-10-09 à 20:43

merci Priam pour ta réponse c'est comme cela que j'avais fait au début mais normalement un tétraèdre n'a-t-il pas comme base un triangle équilatéral ??

Posté par
Priam
re : Volume d'un cuboctaèdre 07-10-09 à 21:39

Pas forcément.
D'une manière générale, un tétraèdre est un solide à 4 faces planes, qui sont en forme de triangles.
Dans le cas présent, il s'agit d'un tétraèdre trirectangle.

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 07-10-09 à 21:47

Bonsoir
Suit la méthode de Priam c'est bien plus simple
sinon
1)un tétraèdre n'a pas nécessairement pour base un triangle équilatéral et si tu prends une autre face comme base de ce tétraèdre on a un triangle rectangle isocèle ( de côté 4) comme base et la hauteur de ce tétraèdre est 4 ( comme Priam a dit)
*
2)
Si on prend comme base de ce tétraèdre le triangle équilatéral de côté 42 : une hauteur de ce triangle a bien pour longueur 26 et l'aire de ce triangle est bien 83
*
3)
Si alors on projette le sommet sur la base (de ce triangle équilatéral) on obtient le centre de gravité du triangle équilatéral qui se trouve au 2/3 de la médiane ( qui aussi hauteur)
*
4)En prenant comme volume d'un tétraèdre = 32/3 ; 8 tétraèdres = 8.32/3 = 256/3
et
W = 512 - 256/3
A+

Posté par
landes7640
re-geo3 08-10-09 à 09:34

merci encore pour vos réponses !

mais je ne comprend pas si je fais 512-256/3 cela me fait 256/3
mais d'ou viens le 1536 ???
c'est juste le point ou je n'ais pas compris.

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 08-10-09 à 10:06

Re
Allons  512-256/3 signifie 512 - (256/3) = (1536 - 256)/3 en réduisant 512 au même dénominateur  3
et 1526 - 256 = 1280
tandis que toi tu as pris 512 - 256/3 pour (512 - 256)/3 qui n'est pas la même chose ; il faut faire attention aux parenthèses.
A+

Posté par
geo3
re : Volume d'un cuboctaèdre 08-10-09 à 10:07

Re
c'est plustôt 1536  ( 512*3) au lieu de 1526
A+

Posté par
landes7640
regeo3 10-10-09 à 17:20

ah d'accord merci beaucoup!

J'ai rendu mon devoir hier nous verrons bien le résultat !

Merci encore !

Posté par
titoupopo
re : Volume d'un cuboctaèdre 28-10-09 à 17:24

Audrey je t'ai reconnu xD  mdrrrr
petite précision : c'est pauline !!!

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