Niveau 4 *

Challenge n°45

Posté par
puisea 19-11-04 à 23:50

Bonsoir tout le monde, je laisse ce week end pour cette 45è énigme d'un niveau assez relevé...

A et B sont deux matrices carrées d'ordre n telles que (I - A.B) soit inversible. Montrer que (I - B.A) est inversible.

Bonne chance à tous.
Clôture dimanche soir.

Posté par re : Challenge n°45

20-11-04 à 22:00

gagné Bonsoir,

J'utilise ceci : si M est une matrice triangulaire par bloc alors le déterminant de M est le produit des déterminants des blocs diagonaux

Soit $4$C=$\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$$

$4$det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$ \times $\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]=det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$] \times det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]=det[C]$ car $4$det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]=1$

or $\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}\) \times $\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$=$\array{2,ccBCC$I_{n} && 0\\B && I_{n}-BA$

d'où $4$det[\(\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$ \times $\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]=det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && 0\\B && I_{n}-BA$]=det[I_{n}-BA]$

d'où det(I-BA)=det(C)

D'autre part,

$4$det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$ \times $\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$]=det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]\times det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$] =det[C]$ car $4$det[$\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$]=1$

or $\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}\) \times $\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$=$\array{2,ccBCC$I_{n}-AB && 0\\B && I_{n}$

d'où $4$det[ \(\array{2,ccBCC$I_{n} && -A\\0 && I_{n}$\times $\array{2,ccBCC$I_{n} && A\\B && I_{n}$]=det[$\array{2,ccBCC$I_{n}-AB && 0\\B && I_{n} $]=det[I_{n}-AB]$

d'où det(I-AB)=det(C)

Conclusion :

det(C)=det(I-AB)=det(I-BA)

Retour au problème :

I-AB inversible <--> det(I-AB)non nul

or det(I-AB)=det(I-BA) donc si det(I-AB)non nul alors det(I-BA) non nul et donc I-BA inversible.

Salut

Posté par re : Challenge n°45

20-11-04 à 23:26

gagné Si une matrice M d'ordre n est inversible, pour tout vecteur X non nul $M.X \neq 0$

(I_n - AB) est inversible donc
$\forall X \in {\mathcal M}_{n,1}({\mathbb R}) -\{0\}, \; (I_n - AB)X \neq 0$ càd
$(AB.X = X) \Longrightarrow (X=0)$ (1)

Cherchons les X tels que $(I_n - BA)X = 0$ (2)
$\begin{tabular} (I_n - BA)X = 0 & \Longleftrightarrow & BA.X=X \\ & \Longrightarrow & A.(BA)X=A.X \\ & \Longrightarrow & (AB)(AX)=AX \end{tabular}$

Comme I-AB est inversible on peut déduire de la relation (1) que AX = 0
En réinjectant dans (2)
$(I_n - BA)X = 0 \Longleftrightarrow X - B.(AX) = 0 \Longleftrightarrow X=0$

La seule solution de l'équation (2) étant 0 , la matrice $(I_n - BA)$ est inversible.

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°45

21-11-04 à 11:04

gagné 1) Supposons B inversible.
dét (I-AB)= dét [(B^-1 -A)B] =det(B) * dét( B^-1 -A)= dét [B(B^-1 -A)] =dét(I-BA)
dét (I-AB)= dét (I-BA) Donc comme une matrice est inversible ssi son dét est non nul .
I-BA est inversible.

2) La , çà se corse !!Il faut faire appel à la topologie .
Soit la fonction f de Mn sur R telle que f(B) = dét (I-AB)-dét (I-BA).
C'est une fonction polynomiale des coeff de B , c'est donc une fonction continue.
De plus, on vient de démontrer qu'elle était nulle sur l'ensemble des matrices B inversibles, qui est une partie "dense" de Mn.(on peut le démontrer en utilisant l'inverse de la fonction qui à M de Mn fait correcpondre son déterminant et en considérant que R* est dense dans R).
Dans ce cas, on peut donc déduire qu'elle est nulle partout sur Mn.
Donc dét (I-AB)= dét (I-BA) est vrai pour tout B appartenant à Mn.

Conclusion : I-BA est donc inversible si I-AB l'est.

Posté par re : Challenge n°45

22-11-04 à 07:32

Je trouve que vous en avez mis beaucoup pour la vrai correction qui était proposée
en tout cas bravo à tous pour votre participation !!

Challenge n°45