Bonjour,

étant donné la taille du nombre à décomposer, c'est le genre d'énigmes qui pousse à la programmation...

Je trouve exactement 541 décompositions possibles.

Merci à 1emeu et Jamo pour l'Enigmeu euh... l'Enigmo!

Bonjour,

je trouve 541  

Bonjour Jamo,

Je trouve 541 manières différentes d'obtenir 100 euros

Bonjour à tous,

Je dénombre en tout 541 possibilités de combiner des pièces de 1, 2 et 5 euros.

En ce qui concerne les questions subsidiaires :

1° J'y travaille.
2° Je n'ai rien trouvé à ce niveau.

Merci pour l'énigme.

Bien à vous.A+

Bonjour jamo,

Notons f(n) (resp g(n)) le nombre de façons d'obtenir n euros avec des pièces de 1,2 et 5 (resp 1 et 2).
0n a facilement (nombre de façons de choisir le nombre de pièces de 2).
f(100)= (s'il y a 20-k pièces de 5 pour k de 0 à 20).
Donc f(100)= (car il y a 10 nombres impairs de 0 à 20).
Par suite .

On peut calculer plus généralement f(n) en posant n=5q+r ():
f(n)= card{k|0qr et k+r impair}.
Soit enfin :
f(n)=.

On retrouve bien f(7)= et f(100)=.

541

Salut Jamo, ma réponse est 99 manières d'obtenir 100 en ajoutant 1,2 et 5.

pour la subsidiaire 2 ca serait pas les Gremlins ??

Bonjour Jamo et merci.

En vitesse, je trouve 541 possiblités.

541 manières différentes

A+

Torio

Bonjour !

Voici ma réponse :

Je dirais qu'il y a 541 manières d'obtenir 100 € à partir de pièces de 1 €, de 2 € et de 5 €.

Pour cela j'ai cherché le cardinal de l'ensemble E = { (k,l,m) t.q. k=0..100, l=0..50, m=0..20 et k+2l+5m=100}.

Bon on est jamais à l'abri d'une erreur donc je sais pas trop si c'est bon.

Merci !

Posons le nombre de façon de faire avec des pièces de 2 euors et de 1 euro.

On a : (partie entière de la moitié de 2).
En effet, pour par exemple, on a une façons de faire sans aucune pièce de 2, une autre avec une pière de 2, une avec 2 pièces de 2, 3 pièces, ..., 50 pièces.

Posons le nombre de façons d'obtenir avec despièces de 5, de 2 et de 1.

En essayant tour à tour les cas avec 0 pièces de 5, 1 pièce, 2, ..., , on obtient :






Dans notre cas particulier où n=100, on a :
f(100) = 540

Bonjour Jamo,
541 manières

Salut Jamo,
Pour moi il y a 541 manières d'obtenir 100 Euros à partir de pièces de 1, de 2 et de 5 Euros.

Je trouve 541 façons d'obtenir 100 euros.

Bonjour,

Avec 20 pièces de 5 €, 0 pièce de 2 €, 0 pièce de 1 € : 1 façon.
Avec 19 pièces de 5 €, 0 à 2 pièces de 2 €, le reste en pièces de 1 € : 3 façons.
Avec 18 pièces de 5 €, 0 à 5 pièces de 2 €, le reste en pièces de 1 € : 6 façons.
Etc.

Total:   façons de faire.

avec pour partie entière de

sauf distraction

100=20x5

Partons des pièces de 5...

Si j'utilise 20 pièces de 5, 1 possibilité
Si j'utilise 19 pièces de 5, les 5 derniers euros se décomposent de 3 manières différentes (2+1+1+1 = 2+2+1 = 1+1+1+1+1).
Si j'utilise 18 pièces de 5, les 10 euros se décomposent de 6 manières différentes.
Si j'utilise 17 pièces de 5, les 15 euros restants se décomposent de 8 manières différentes.
Si j'utilise 16 pièces de 5, les 20 euros restants se décomposent de 11 manières différentes.
...

1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51=541

Il y a 541 manières de décomposer 100 € en pièces de 1, 2 et 5 €.

Bonsoir !
J'ai trouvé 541 manières d'obtenir 100 euros...
Merci pour cet énigmo !

PS : Je sèche toujours pour la photo du joli môme !

Il y a 541 manières d'obtenir 100 avec des pièces de 5, 2 et un euros!

En effet, on raisonne sur le nombre de pièces de 5 et de 2 et on complètera par des pièces de 1 jusqu'à obtenir 100 : au max il y a 20 pièces de 5 et 0 de 2 -> une seule manière
                               puis 19 pièces de 5 et au max 2 de 2 puis 1 puis 0 -> 3 manières
                               puis 18                       5 de 2 puis 4,3,2,1,0 -> 5 manières
                               puis 17                       7 de 2 puis 6,5,4,3,2,1,0 -> 8 manières

En résumant dans un tableau et en distinguant nombre pair ou impair de pièces de 5 puis on additionne le nombre de manières obtenues pour chaque cas en faisant le nbre de pièces de 2 euros +1

5 euros 2 euros 5 euros 2 euros
19 2 20 0
17 7 18 5
15 12 16 10
13 17 14 15
11 22 12 20
9 27 10 25
7 32 8 30
5 37 6 35
3 42 4 40
1 47 2 45
0 50
Le nombre de manières différentes est : 3+8+13+18+23+28+33+38+43+48+1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51= 541

Un 2ème envoi un peu plus lisible mais avec la même réponse!!

Il y a 541 manières d'obtenir 100 avec des pièces de 5, 2 et un euros!

En effet, on raisonne sur le nombre de pièces de 5 et de 2 et on complètera par des pièces de 1 jusqu'à obtenir 100 : au max il y a 20 pièces de 5 et 0 de 2 -> une seule manière
                               puis 19 pièces de 5 et au max 2 de 2 puis 1 puis 0 -> 3 manières
                               puis 18                       5 de 2 puis 4,3,2,1,0 -> 5 manières
                               puis 17                       7 de 2 puis 6,5,4,3,2,1,0 -> 8 manières

En résumant dans un tableau et en distinguant nombre pair ou impair de pièces de 5 puis on additionne le nombre de manières obtenues pour chaque cas en faisant le nbre de pièces de 2 euros +1

cas impair
5 euros 2 euros
19 2
17 7
15 12
13 17
11 22
9 27
7 32
5 37
3 42
1 47

cas pair
5 euros 2 euros
20 0
18 5
16 10
14 15
12 20
10 25
8 30
6 35
4 40
2 45
0 50

Le nombre de manières différentes est : 3+8+13+18+23+28+33+38+43+48+1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51= 541

Je dit qu'il y a 99 manières.

Avec un petit programme java vite fait, je trouve:

541 possibilités


-----------
public class cent {

public static void main(String args[])
{
int un,deux,cinq;
int cpt;
//initialisation du compteur
cpt=0;
for(un=0;un<=100;un++)
  for(deux=0;deux<=50;deux++)
     for(cinq=0;cinq<=20;cinq++)
      {
        if(un+2*deux+5*cinq==100)
        {
        cpt++;
        System.out.println(un+" "+deux+" "+cinq);
        }
     }

  System.out.println(" le nombre total est... "+cpt);
}
}

-----

et comme je ne vais pas afficher les 541 possibilités, je m'arrete là...

bonjour Jamo
il y a cinq cent quarante et une manières différentes

avec un nombre pair de pièces de cinq euro
une combinaison avec vingt pièces et cinq combinaisons de plus (le nombre de nombres impairs inférieurs ou égaux à la somme restante) chaque fois qu'on retire deux pièces; minimum : 1; maximum : 51; moyenne 26; 26*11 = 286

avec un nombre impair de pièces de cinq euro
trois combinaisons avec dix-neuf pièces et cinq combinaisons de plus (le nombre de nombres impairs inférieurs ou égaux à la somme restant) chaque fois qu'on retire deux pièces; minimum : 3; maximum : 48; moyenne 25,5; 25,5*10 = 255

286+255 = 541

Mini Minkus sera peut-être un futur Gauss

Il y a 541 façons différentes d'obtenir 100 avec des pièces de 5; 2 et 1 euros

Enigmo 68

541 manières    

pour une somme N multiple de 5  

Bonjour

Je pense qu'il 99 manière différente pour obtenir 100€ avec des pièces de 1,2,5€

Les triplés solutions sont du type

( 5*k-2* , , 20 - k )

avec 0 <= 5*k-2*
     0 <= k <= 20
     0 <= <= 100/2=50

Puisque 1*(5*k-2*)+2*+5*(20-k)=100

Exemple lambda = 35 0 <= 5*k - 70 ==> 14 <= k <= 20

k = 14  (  0 , 35 , 6 ) -->  0 pièce  de 1 + 35 de 2 + 6 de 5 = 100
k = 15  (  5 , 35 , 5 ) -->  5 pièces de 1 + 35 de 2 + 5 de 5 = 100
k = 16  ( 10 , 35 , 4 ) --> 10 pièces de 1 + 35 de 2 + 4 de 5 = 100
k = 17  ( 15 , 35 , 3 ) --> 15 pièces de 1 + 35 de 2 + 3 de 5 = 100
k = 18  ( 20 , 35 , 2 ) --> 20 pièces de 1 + 35 de 2 + 2 de 5 = 100
k = 19  ( 25 , 35 , 1 ) --> 25 pièces de 1 + 35 de 2 + 1 de 5 = 100
k = 20  ( 30 , 35 , 0 ) --> 30 pièces de 1 + 35 de 2 + 0 de 5 = 100

On peut d'ailleurs lire ces triplés à l'envers c'est à dire que

Exemple k=18 --> 1 pièce de 20 + 2 de 35 + 5 de 2 = 100 d'où une généralisation possible.

Sinon

Pour = 0         0 <= k <= 20 => 1*21 triplés
Pour = 1,2       1 <= k <= 20 => 2*20 triplés
Pour = 3,4,5     2 <= k <= 20 => 3*19 triplés
Pour = 6,7       3 <= k <= 20 => 2*18 triplés
Pour = 8,9,10    4 <= k <= 20 => 3*17 triplés
...
Pour = 46,47    19 <= k <= 20 => 2*2  triplés
Pour = 48,49,50 20 <= k <= 20 => 3*1  triplés

Après sommation, il y 541 solutions

Il y a 99 possibilités de faire 100€ avec des pièces de 1;2 ou 5€.

85

Bonjour a tous, bonjour Jamo, merci pour cette enigme trés efficace pour se remmemorer les bases des calculs sous somme.

Etudions le cas ou l'on souhaite obtenir N euros avec des pieces de 1, 2 et 5.
Raisonnons en sommant les differents cas imposés par le nombre de pieces de 5 dans la composition.
Posons q le quotient de N par 5 dans la division euclidienne. N = 5q + r (r<5).
Notons S le nombre de composition differentes donnant N euros.

S = (de 0 à q)   E((N-5k)/2)+1    ou k donne le nombre de pieces de 5 dans la composition.

par exemple pour N = 12  alors q = 2 et donc S = 7 + 4 + 2 = 13

Etudions le cas N pair et q pair (c'est le cas pour 100 euros.).Et simplifions S en separant les indices pairs et impairs.

S = (de 0 à q/2)  E((N-10k)/2)+1 + (de 0 à q/2-1)  E((N-10k-5)/2)+1
S = (de 0 à q/2)  N/2 - 5k + 1   +   (de 0 à q/2-1)  N/2 - 3 - 5k + 1
S = (q/2 + 1)(N/2 + 1) - 5(de 0 à q/2)  k    + q/2*(N/2 - 2) - 5(de 0 à q/2)  k    + 5q/2
S = -10(de 0 à q/2)  k   +  q/2*(N + 4)  +  N/2 + 1
S = -5q/2(q/2+1)+ q/2*(N + 4)  +  N/2 + 1

et enfin

S = q/2*(N - 5q/2 - 1) + N/2 + 1

Donc pour N = 100 on a q = 20 et donc S = 10*(100 - 50 - 1) + 50 + 1 = 541

Il y a donc 541 manières différentes de faire 100 euros avec des pièces de 1, 2 et 5 euros.  

Pour les cas N ou q non pair il y a une petite erreur de 0.25 dans la formule qui disparait avec la partie entiere.

Quant à l'avatar de chucky , je ne connais pas ce film incontournable...dsl.

Après quelques essais pour  d'autres sommes, il semblerait que la généralisation est:

Nb de manières  = ROUND( (n+4)²/20)  où n est la somme à décomposer.


Reste à le démontrer ............ !!!!!

Bonjour,

Avec 20 fois 5, il y a 1 manière.
Avec 19 fois 5, il y a 3 manières.
Avec 18 fois 5, il y a 6 manières.
Avec 17 fois 5, il y a 8 manières.
Avec 16 fois 5, il y a 11 manières.
Avec 15 fois 5, il y a 13 manières.
...
Avec 1 fois 5, il y a 48 manières.
Avec 0 fois 5, il y a 51 manières.

On a à chaque fois +2 +3 +2 +3 ...

Ce qui fait un total de 541 manières d'obtenir 100€


Merci pour l'énigme.

Remarque : les pièces de 5 euros existent ...

Salut jamo, voici ma réponse:
Selon moi, il y a 542 possibilités!
Mais je suis nouveau ici et c'est pour cela que j'ai une question, est ce que les questions subsidiaires rapportent des points?
Merci

D'une manière générale, soit P(n,p) le nombre de façons de payer n avec p types de pièces de valeur a1=1<...<ai<...<ap. Il n'y a qu'une seule façon de payer avec une seule pièce P(n,1)=1, et on a la récurrence P(n,p)=Somme(P(n-k*ap,p-1) étendue de k=0 à [n/ap] (partie entière).
Ici, a2=2, et P(n,2)=1+[n/2]; a3=5, et P(n,3)=[n/5]+1+[n/2]+[(n-5)/2]+...+[(n-5*[n/5])/2]
Pour n=100: P(100,3)=21+50+47+45+42+40+...+10+7+5+2=21+52*10=541

Il doit y avoir 541 possibilités

le nombre cherché est le nombre de solution de l'equation
5a+2b+1c=100 ou a, b et c des entier naturel
on voi que a<21 , b<51 et c<101
c=100-5a-2b
pour a=0  c=100-2b et comme entier on aura 100-2b>=0 ce qui donne b=<50 danc cas on 51 solution
pour a=1 c=95-2b de la meme maniere b=<47 donc 48 solution
pour a=2 b=<45 soit 46 solution
pour a=3 b<42 soit 43 solution
d'une facon general
c=100-5a-2b >=0 donc 2b=<100-5a
si a paire a=2k avec 0=<k=<10 donc b=<50-5k le nombre de solution 51-5k
le nbr total des solutions :51+51-5+51-10+......51-50=11*51-(5+10+15+....+50)
soit 11*51-5*(10*11)/2 = 11*51-25*11=11*26=286
si a impaire a=2k+1 avec 0=<k=<9 donc b=<50-5k-2 =48-5k nbr de solution 49-5k
le nbr total des solutions: 49+49-5+49-10+49-15+...+49-45=10*49-(5+..+45)
soit 10*49-25*9=265
le nr total est 265+286=551
plus generalement
p entier naturel non nul au lieu de 100
5a+2b+c=p donc c=p-5a-2b
a=<parie entiere de (p/5) ,b=<parie entiere de (p/2)etc=<p
si p paire p=2s et a paire a=2r donc b=<s-5r donc s+1-5r solution 0=< r=< parie entiere de ((p/5)/2)=t
donc le nbre total de solution s+1+s+1-5+s+1-10+...s+1-5t=(t+1)(s+1)-(5+10+..+5t)
=(t+1)(s+1)-5*t*(t+1)/2=(t+1)(2s+2-5*t)/2
p paire  p=2s et a impaire a=2r+1 donc b=<s-5r-2 donc s-1-5r non nul la  solution donc le nbr de solution :s-1+s-1-5+...+s-1-5(t-1)=(s-1)t-(5+..+5(t-1))
=(s-1)t-5*(t-1)t/2=t(2s-5t+3)/2
pimpaire p=2s+1 et a paire a=2r donc b=< s-5r soit s+1-5r solution donc le nbre total de solution s+1+s+1-5+s+1-10+...s+1-5t=(t+1)(s+1)-(5+10+..+5t)
=(t+1)(s+1)-5*t*(t+1)/2=(t+1)(2s+2-5*t)/2
p impaire p=2s+1 et a impaire a=2r+1 donc b=< s-5r-2 donc donc s-1-5r solution donc le nbr de solution :s-1+s-1-5+...+s-1-5(t-1)=(s-1)t-(5+..+5(t-1))=t(s-1)-5*t*(t-1)/2=t(2s-5t+3)/2
recapitulation
p paire nbr de solution est (t+1)(2s+2-5*t)/2 + t(2s-5t+3)/2
p impaire nbr de solution est =(t+1)(2s+2-5*t)/2 + t(2s-5t+3)/2

j'ai trouvé 490 manières de faire. Pour ce qui est de la première question subsidiaire, déjà, en faisant juste varier le nombre pièce, et en faisant une courbe des nombre ainsi obtenu, j'obtiens quelque chose de régulier, genre une exponentielle mais étalée !

Je sais pas du tout comment faire pour généraliser.

il y a 541 manières d'obtenir 100 euros à partir de pièces de 1, de 2 et de 5 euros.

Bonjour !

Je trouve 515 manières d'avoir 100 euros, et sinon les pièces 5 euros existent bien.

Non, 535 aie erreur de frappe !

Bonjour,

Je pense qu'il y a 541 possibilités:
(Je ne ferai que des divisions entières)

Les valeurs des pièces respectives sont 5, 2, 1.
Nous cherchons le nombre de possibilité pour 100:

Soit

Soit

Donc:

On décrémente x de 1, on passe donc à:


On décrémente à nouveau x (Maintenant x = 18).

Et on continue jusqu'à inclue. On additionne les valeurs de jusqu'à , et on, obtient le nombre de possibilités.

Je sais que mon raisonnement ne fait pas très "mathématiques" (pour tout vous dire, dans mon explication j'ai adopté le même que quand je programme), donc pour être un peu plus "math" dans mes explication je traduirais cela sous forme de suite:

Soit la suite avec

donc:
On additionnera les valeurs de à

   (ahem...c'est la seconde fois seulement que j'utilise sigma, il est possible que j'ai écris une bêtise sur cette ligne...)

En gros mon raisonnement ce serait:
- Combien de combinaisons pour utiliser le 5 ? (...)
- A chaque fois donc, combien de combinaisons d'utiliser le 2 dans ce qui me restera?
- On ajoute 1 (me demandez pas comment j'ai trouvé ça o_O)

bonsoir Jamo
j'ai trouvé 541 possibilités
merci pour cet énigmo

99 fois

Il y a exactement 541 manières d'obtenir 100 euros avec des pièces de 1, 2 ou 5 euros.


Pour la question subsidiaire 1a, si on se restreint aux seules pièces de 1, 2 et 5 euros, il y a bien une forme close en fonction de n qui donne le nombre de telles décompositions.
Cette formule est simplement une somme de 8 termes, chacun étant de la forme , où a, b et c sont des complexes algébriques d'ordre (au plus) 4 (donc en particulier exprimables sous forme de radicaux), et d = ±1.
Mais ces 24 nombres complexes sont 'moches', donc j'écris pas ici la formule close qui donne ce nombre de décomposition.
Pour résumer, il existe bien une formule close, intrinsèquement simple, mais juste 'moche' et complexe à écrire.
Par contre, si on note le nombre de façons de décomposer n en pièces de 1, 2 et 5, alors on peut très facilement obtenir que .

Dans un second temps, pour la question 1b, si on veut des pièces autres que ces trois là, la démarche est la suivante.
On prend nos pièces dans un ensemble , T fini.
On note : une fraction rationnelle formelle ().
On peut montrer que, puisque T est fini, alors P est aussi une fonction analytique de dans lui-même, de rayon de convergence 1. (En fait, c'est aussi vrai pour certains T infinis. Par exemple, si T est l'ensemble des nombres premiers, on a encore un rayon de convergence de 1, et le résultat ci-après s'applique encore.).
En particulier, on peut développer P en série entière en 0 (Taylor).
On aura donc que : .
Alors, le nombre de façon de décomposer n avec des pièces dans T est exactement .

On peut vérifier que, si T={1, 2, 5}, on obtient bien les résultats sus-cités.


Pour la question 2, aucune idée !



Vive l'Analyse d'Algorithmes, n'est-ce pas P.J. !

Bonjour ,
il y a 541 manieres.

Il faut utiliser la série génératrice suivante :
S(X) = 1 / ((1-X)(1-X²)(1-X^5))
(Les puissances de X correspondent aux valeurs des pieces : 1, 2 et 5)

Ensuite, un petit coup de décomposition en éléments simples...
Soit N le nombre cherché, alors :
40N = 5(-1)^100 + 13 + 10(100+1) + 2(100+1)(100+2) + 8
(le +8 final dépendait du reste de 100 dans la division par 5)

ainsi, N = (5+13+1010+20604+8) / 40 = 541

Il existe 541 façons de payer 100€ avec des pièces de 1€, 2€ et 5€.


Pour n'importe quelle somme S (toujours avec des pièces de 1, 2, 5) :
40N = 5(-1)^S + 13 + 10(S+1) + 2(S+1)(S+2) + 8
où vaut : 1 si le reste de S dans la division par 5 vaut 0 ou 2
                             -1 ------------------------------------------- 3 ou 4
                             0  ------------------------------------------- 1

Et pour d'autres types de pièces, il faut changer la série génératrice de départ, les puissances de X sont les types de pièces utilisées.

541 ?

On a 100= mx1+nx2+px5
m< =100  ,n= <50 et p < = 20 donc le maximum de possibilités est 100*50*20 ce qui fait quand même 100 000

Si nous prenons un exemple pair médian    :
m=50 nous avons  6 solutions (n=25 ,p=0 )(n=20 ,p=2) (n=15,p=4) (n=10,p=6) (n=5 ,p=8 )(n=0 ,p=10)
Nous constatons que les multiples de 5 s'incréméntent par 2 et ceux de 2 par -5.
En outre si m est impair il faudra au moins une pièce de 5 (p sera impair) et l'incrémentation est la même ,.

Les écarts ètant à peu près linéaires on peut esperer moins de 600 solutions ce qui est plus raisonable.


j'ai trouvé 536 solutions