Bonjour,
il y a quelques jours, j'ai fais une balade en foret, mais j'ai failli m'égarer !
C'était pourtant simple, j'avais allumé mon GPS afin de repérer la direction à prendre. Le trajet devait être de 10km.
Je suis donc parti, et au bout d'un certain temps, j'ai à nouveau allumé mon GPS pour voir où j'en étais. Et je me suis rendu compte que j'étais parti dans une direction faisant un angle de 12° vers la droite par rapport à la bonne direction.
Je me suis alors tourné d'un angle de 15° vers la gauche pour me retrouver face à mon point d'arrivé prévu ... où je suis bien arrivé !
Bien entendu, on admet que je me suis à chaque fois en ligne droite.
Question : quelle est la longueur du trajet effectivement suivi ?
Je veux la réponse en kilomètres, avec une précision au mètre.
Bonne recherche !
Bonjour Jamo
Je dirais 10,055 km
Plus exactement 10*(sin(12°)+sin(3°))/sin(165°)
sauf erreur évidemment...
MM
Bonsoir,
En espérant ne pas êre déboussolé par le problème, je propose comme réponse : 10,055 Km.
Merci pour l'énigme .
Bonjour.
Tu as marché 10,055 km.
Soit h la distance entre le point du changement de cap et la bonne route.
h*tan78°+h*tan87° = 10; h = 10/(tan78°+tan87°
parcours : h/sin12° + h/sin3°
bonjour Jamo
sauf étourderie de ma part tu as parcouru 10O55mètres à un mètre prés par défaut
merci pour cet énigmo
Bonjour
La solution devrait être
10,055 km
N'y aurait-il pas une étoile en trop ( si j'ai bien compris l'énoncé)
Il suffisait d'employer la régle aux sin dans 1 triangle.
A+
bonjour Jamo
Tu as parcouru 10,055 km.
Vive le GPS!
D'après la loi des sinus:
Donc
merci pour l'enigmo.
Bonjour !
Voici ma réponse :
La longueur du trajet effectivement suivi est de 10,055 km (arrondie au m près).
Preuve :
Soient D le point de départ, A le point d'arrivée, I le point intermédiaire et I' un point de [DI) n'appartenant pas à [DI]. On a par hypothèse :
* DA = 10
* = 12°
* = 15°
On en déduit alors que :
* = 180° - 15° = 165°
* = 180° - 12° - 165° = 3°
On applique la loi des sinus pour calculer les longueurs DI et IA :
D'où :
DI = et IA =
La longueur cherchée est alors :
DI + IA =
10,055 (arrondi au millième)
Bonjour Jamo,
pour une fois, j'ai essayé de répondre un peu plus vite...
Après avoir posé le problème et avoir résolu une métrique dans un triangle (du genre A / sin(a) = B / sin(b) = ...), je trouve comme distance totale :
10,055 km au mètre près.
Ainsi, même si tu t'es trompé de chemin, tu n'as pas beaucoup rallongé ton trajet (sauf erreur bien sûr).
Merci pour l'énigme.
P.
Bonjour à tous,
Il semblerait (et ce d'après la règle des sinus) que tu ais marché 10 055 mètres lors de ta promenade (arrondi au mètre).
Félicitation, c'est une sacré marche.
Bonjour Jamo,
Moi aussi, je me suis un peu perdu dans les calculs mais voici ma proposition :
Le trajet fait 10,055 km.
Merci.
Voila pour ma réponse : 10.055 km
Au moment ou tu allume ton GPS tu as déja parcouru 2.022 km
En espérant que les 15° se font bien depuis les 12° d'erreur de départ.
Nota : 3 étoiles ?? ...
@++
Bonsoir jamo,
Cette figure représente le trajet prévu que jamo a du prendre d'une part, et le trajet effectivement suivi par jamo d'une autre part
12,78,15,75 etc. représente la valeur des angles comme indiqué dans la figure, en degré.
AD est le trajet prévu, et AB+BD est le trajet effectivement suivi.
ADC rectangle en C, on déduit d'apres les lignes trigonométriques:
DC=cos(78o)*10 km
AC=cos(12o)*10 km
(avec AD=10 km)
BDC tiangle rectangle en C, on déuit d'apres les lignes trigonométriques:
BD=DC/cos(75o)= [cos(78o)*10]/cos(75o) km
BC=BD*cos(15o)=[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) km
A,B et C étant alignés dans cet ordre, on a:
AB=AC-BC=cos(12o)*10-[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) km
La longueur exacte du trajet effectivement suivi=AB+BD=cos(12o)*10-[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) + [cos(78o)*10]/cos(75o) km
Soit 10.06 km (résultat arrondis au centième près)
Merci pour cette énigme sympathique
Ah oui, j'ai oublié de le signaler dans mon post précédent... La figure n'est pas tracée á l'échelle, et les angles ne sont pas représentés non plus avec leur même valeur exacte ...
Bonjour,
Jamo, tu as parcouru en tout 10,055 km
soit seulement 55m de plus que pour le chemin initial. Tu ne t'es pas trop fatigué en plus, ça reste raisonnable
Pour être tout à fait exact, tu as parcouru 2,022 km avant de rallumer ton GPS et de modifier ta trajectoire. Puis à nouveau 8,033 km pour rejoindre ta destination finale.
La démonstration est simple, c'est de la géométrie. Je ne suis pas sûr que l'énigme valait 3 étoiles (sauf si je me suis royalement planté!!! oups)
@+
Explication :
Tout d'abord, exposons le problème sous forme de figure.
Soit trois point D, T et A (D pour départ, T pour trompé et A arrivée ^^ x) ).
C.F -> Figure 1.
Grâce à la formule du cosinus et du sinus, on peut trouver les longueurs [AT] et [DT].
- [AT]:
sin(ADT)=AT/DA
sin(12)=AT/10
AT=10*sin(12)
AT2,079 km
- [DT]:
cos(ATD)=DT/AD
cos(15)=DT/10
DT=cos(15)*10
DT9,659 km
Après avoir trouvé [AT] et [DT], on les additionne pour trouver la distance totale parcourue, donc 2,079+9,659=11,738km
Résultat :
La distance totale parcourue est de 11,738 km, environ bien sûr !
C'est faux ... >< J'men suis rendu compte ! Mais bon tant pis :s . . .
A bientôt
Figure 1 :
Bonjour
Sur le triangle ci-dessous, on a :
Dans un triangle, on a les relations :
On a donc :
Et donc :
La distance parcourue est de 10,055 km
Merci pour cette énigme.
Bonjour,
ma réponse : 10055m
Je ne crois pas qu'elle vaille 3 étoiles, enfin bon merci pour l'énigmo.
Bonne journée à tous.
Bonsoir,
voyons la figure suivante où le point de départ est en B, le point d'arrivée en A et la bifurcation en C.
Appliquons la loi des sinus pour les triangles quelconques:
a/sinA = b/sin B = c/sin C
Il vient a/sin(3°) = b/sin(12°) = 10000 m/ sin (165°) = 10000m/sin(15°)
donc a = 10000 * sin(3°)/sin(15°) et b 10000 *sin(12°)/sin(15°)
respectivement a = 2022,10m et b = 8033,09m soit le trajet total
= 10055,20m arrondi par défaut à 10055m
Bien à vous
Je n'arrive pas a resoudre l'equation :
(10 - x)/cos3 + x/cos12 = 10
Si j'aurais pu je pense avoir la bonne reponse ...
Le trajet suivi fait donc 10,055 km.
J'ai bricolé un peu avec le théorème d'Al-Kashi... Y a-t-il une autre méthode sinon ?
Bonjour,
nous pouvons résumer le prolème à un triangle:
D'après les règles connues sur les triangles rectangles (SOHCAHTOA et pythagore):
Calcul de CB
BD=AB*tan(12)
BG=BD*cos(7)
sin(15)=BG/CB
CB=(BD*cos(7))/sin(15)
Ensuite, calcul de AC:
cos(87)=EC/CB
EC=CB*cos(87)
sin(12)=EC/AC
AC=EC/sin(12)
AC=(CB*cos(87))/sin(12)
Et enfin:
AC+CB
((10*tan(12)*cos(7))/sin(15)*cos(87))/sin(12)+(10*tan(12)*cos(7))/sin(15)
Ce qui donne:
10203 m
Bonjour à tous, et merci pour l'énigme!
Sous mathematica:
Solve[{x*Cos[12*(/180)] + y*Cos[(15)*(/180)] == 10,
x*Sin[12*(/180)] == y*Sin[(15)*(/180)]}, {x, y}]
d'ou:
x = (10 (Sqrt[3]-1))/(sin(/15)+Sqrt[3] sin(/15)-cos(/15)+Sqrt[3] cos(/15))
y = (20 Sqrt[2] sin(/15))/(sin(/15)+Sqrt[3] sin(/15)-cos(/15)+Sqrt[3] cos(/15))
Application numérique: au mètre près:
x = 5.70098 km x = 5.701 km
y = 4.57965 km y = 4.580 km
Solution:
distance parcourue: au mètre près:
10.2806 Km 10.281 Km
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