Bonjour à tous,
Voici une figure dont les sommets sont 8 nombres entiers positifs non nuls et tous différents.
Les traits reliant les nombres forment divers polygones : 4 triangles (ABG, BCD, DEH et AEF), 2 carrés (ABDE et CGFH) et 2 hexagones (ABCDEF et AGBDHE).
On veut que la somme et le produit des nombres situés sur les sommets de chaque polygone mentionné ci-dessus soient des multiples du nombre de côtés de ce polygone.
Par exemple, la somme A + E + F et le produit B.C.D doivent être des multiples de 3.
De même, la somme A + B + D + E et le produit C.G.F.H doivent être des multiples de 4. Et ainsi de suite…
Question : Trouver 8 nombres entiers positifs non nuls et tous différents respectant l'énoncé tels que leur somme soit minimale.
S'il existe plusieurs solutions possibles, une seule suffira.
Si vous pensez qu'il n'existe pas de solution, répondez « problème impossible ».
Bonjour,
Voici 8 nombres entiers positifs non nuls et tous différents respectant l'énoncé tels que leur somme soit minimale.
[ 8 ]
[ 1 6 ]
[5 7]
[ 3 2 ]
[ 4 ]
Merci pour cette énigme !
Bonjour,
Il semble qu'il existe une solution minimale, avec les 8 nombres de 1 à 8 :
A=3 ; B=2 ; C=7 ; D= 6 ; E=1 ; F=5 ; G=4 ; H=8
Ce qui donne à peu près :
4
3 2
5 7
1 6
8
Merci pour l'énigme !
Tof
Bonjour,
Je trouve une somme minimale de 36 pour les valeurs suivantes :
A=1
B=6
C=7
D=2
E=3
F=5
G=8
H=4
Merci.
Bonjour,
Voici une solution (somme = 36):
Je trouve 15 autres solutions a ce problème qu'ont peut obtenir par symétrie etc. (cela rendra la correction difficile !).
Merci.
Bonjour,
sans me lancer dans des calculs savants et compliques, je serais tente de dire que chacune des lettres est a la fois sur un triangle, un carre et un hexagone. Donc si on attribue comme valeur a chacune de ces lettres un multiple de 3*4*6 (72) les produits et sommes seront forcement des multiples de 3 de 4 et de 6. De ce fait en prenant
A=72
B=144
C=216
D=288
E=360
F=432
G=504
H=576
on a alors des entiers non nuls tous differents dont les sommes et produits pour chacun des polygones respectent la condition "sont multiples du nombre de cote du polynome".
A priori cela fonctionnait avec les multiples du PPCM (12) de 3, 4 et 6, mais la cela fait encore plus brut de reflexion!
Il y a forcement une infinite de solution (si il n'y a pas un gros bug dans mon raisonnement de faineant!).
A bientot...
Je pense qu'il n'existe que les solutions suivantes (ma solution multipliée par un entier arbitraire et avec des permutations possibles) :
A : 18
B : 3
C : 9
D : 6
E : 15
F : 21
G : 24
H : 12
Dans tous les cas, tous les nombres doivent être des multiples de 3 (sinon on enfreint la règle disant que tous les nombres doivent être différents).
Si j'ai un peu de temps j'essaierai de faire une démonstration, en espérant bien sûr de ne pas m'être trompé !
Merci pour cette énigme !
Bonjour,
A=1 B=3 C=4 D=2 E=6 F=8 G=5 H=7
Somme =36
16 solutions
A=1 B=3 C=4 D=2 E=6 F=8 G=5 H=7
A=8 B=3 C=2 D=7 E=6 F=4 G=1 H=5
et les rotations + symétrie
merci Godefroy_lehardi
Bonjour Godefroy.
ABCDEFGH 26813475; somme des nombres : 36
(somme;produit) :
triangles 15;42) (15;48) (9;15) (9;24)
carrés : (12;36) (24;1120)
hexagones : (24;1152) (24;630)
Bonjour
En mettant de petits entiers on trouve:
A 1 B2 C3 D4 E5 F9 G6 H18
S P
ABG 9 12
BCD 9 24
EDH 27 360
AFE 15 45
ABDE 12 40
CGFH 36 2916
ABCDEF 24 1080
AGBDHE 36 4320
La somme des 8 sommets est 48
Bonjour à tous.
Ma réponse : 1 3 4 2 6 8 5 7, somme des nombres : 36, ce qui donne la figure ci-dessous.
Cordialement
bonjour ,
voila ma reponse
une des nombreuses solution (1; 3; 7; 2; 6; 5; 8; 4)
la somme vaut donc 36 (somme déjà minimale avec la seule contrainte: 8 huit chiffres tous differents et non nuls)
en image:
Merci pour l'enigme
Qlq explications sur la methode que j'ai suivie:
pour chacun des 4 triangles, au moins un des sommets est multiple de trois (3 est premier !)
la somme des 3 sommets etant aussi un multiple de 3, la somme des 2 autres sommets est aussi un multiple de 3
=> soit les 2 autres sommets sont tous les 2 multiples de 3, soit l'un est du type ~3k+1 et l'autre ~3k+2
par ailleurs, il faut au minimum 2 sommets distincts couvrir les 4 triangles (par exp (E;B) ou (A;D))
=> parmi les huit nombres recherchés, il y a au moins 2 multiples de 3
cherchons s'il existe une solution avec les nombres 1 à 8 (il ne peut pas y avoir de solution ayant une somme inferieure !)
classons les nombres de 1 à 8 selon mod(3) : (3;6) ~3k ; (1;4;7) ~3k+1 ; (2;5;8) ~3k+2
si les nombres 1 à 8 permettent une solution alors les 3 sommets de chaque triangle seront du type (~3k; ~3k+1; ~3k+2)
choisissons B=3 et E=6
=> A & H & C sont necessairement de même type (~3k+1 par exp.) et D & F & G sont necessairement de l'autre type (~3k+2 par exp)
sur les 9 possibilités (A=1 ou 4 ou 7 & D=2 ou 5 ou 8), seuls (A=1 & D=2) et (A=7 & D=8) respectent "A+B+D+E est un multiple de 4"
choisissons A=1 et D=2
sur les 4 possibilités (F= 5 ou 8 & C= 4 ou 7), seules (F=5 & C=7) et (F=8 & C=4) respectent "A+B+C+D+E+F est un multiple de 6"
choisissons F=5 et C=7
=> G=8 et H=4
on verifie que (A=1; B=3; C=7; D=2; E=6; F=5; G=8;H= 4) respecte toutes les conditions sur les sommes et produits des 8 polygones de la figure
on peut remarquer qu'aucune condition sur les produits n'a été utilisée sauf celle des triangles ...
on peut aussi remarquer (F=8 & C=4) mene egalement a une solution et que (A=7 & D=8) mene aussi a 2 solutions ...
Bonjour
Il existe une solution avec les nombres 1 à 8, qui est donc forcément de somme minimale.
(voir illustration ci-jointe)
Merci pour cette joute !
Bonjour,
J'ai trouvé une solution avec les chiffres de 1 à 8.
A = 6
B = 2
C = 7
D = 3
E = 1
F = 5
G = 4
H = 8
Somme = 36
Merci pour l'énigme.
Bonjour tout le monde.
- Je propose ceci:
5
1 6
8 4
3 2
7
A+B+G = 12 A*B*G = 30
B+C+D = 12 B*C*D = 48
D+E+H = 12 D*E*H = 42
A+E+F = 12 A*E*F = 24
A+B+D+E = 12 A*B*D*E = 36
C+G+F+H = 24 C*G*F*H = 1120
A+B+C+D+E+F = 24 A*B*C*D*E*F = 1152
A+G+B+D+H+E = 24 A*G*B*D*H*E = 1260
Hello,
Je propose:
A=3
B=1
C=8
D=6
E=2
F=4
G=5
H=7
La somme A+B+C+D+E+F+G+H est bien sûr minimale, et les conditions de divisibilité sont respectées sur les 4 triangles, les 2 carrés et les 2 hexagones.
Merci pour l'énigme
Yoyo.
Salut, tous, et merci pour la joute, godefroy!
Ben, je propose les nombres les plus petits possibles pour cet énoncé: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8.
C'est un peu facile de juste les dire, alors je donne une configuration: A-3; B-1; C-8; D-6; E-2; F-4; G-5 et H-7.
On vérifie que les sommes et produits respectent bien les règles... Encore Merci!
Clôture de l'énigme :
Il existait bien plusieurs solutions utilisant les nombres de 1 à 8.
Je n'ai pas vérifié combien sont réellement différentes.
Des propos de corsaire que cela, mon cher meteore! Seriez-vous ennemi du smiley? Ou considerez-vous juste qu'un bien(smiley) mal(facilement) acquis ne vaut pas mieux qu'un poisson accompagne* d'effort intellectuel et de plaisir? En tout cas, je suis curieux de savoir ce qui se passerait si votre contrainte était ajoutée a* l'énoncé...
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