L(B)=n*(4n-1)
et L(2006,2006)=16 096 144

l(1,-1)=2; l(-1,1)=2(1+2)=6
... l(n,-n)=2(1+2+...(2n-1)=2n(2n-1)
l(-n,n)=2(1+2+...+2n)=2n(2n+1)
donc l(B)=l(n,0)=l(n,-n)+n=2n(2n-1)+n=n(4n-1)

l(n,n)=l(n,0)+n=4n^2
l(2006,2006)=16096144

On démarre sur les chapeaux de roues...

Donc je propose l(n ; 0) = n(4n-1).
Et l(2006 ; 2006) = l(2006 ; 0) + 2006 = 16096144.

Bonjour,

Je trouve que l'expression de l(B) en fonction de n est :

l(n, 0) = 4n² - n

Sinon, je trouve que l(2006, 2006) = l(2006, 0) + 2006 = 16096144

Merci pour l'énigme !

Bonjour,

Mes réponses :

Première question :


Pour la deuxième question, on peut exprimer I(C) en fonction de n avec C(n;n) :


A+, KiKo21.

je trouve l(B)=n(4n-1)

et l(2006,2006)=16 096 144

merci pour l'énigme.

Bonjour,

Je trouve .

Par ailleurs, pour n=2006, l(2006;2006)=l(2006;0)+2006=.

Merci pour l'énigme.

Bonjour, la formule de l en fonction de n est n*(4n - 1)

et l(2006;2006) =  16 096 144

Merci pour l'énigme

Bonjour,


Merci pour l'énigme.

Bonjour et merci beaucoup pour les énigmes, voici ma réponse:
I(n,0)=4-n.
Car I(n,0) = 2(1 + 2 + 3 + ...+ (2n-1)) + n = 2+n = 2n(2n - 1)+ n = 4.
I(2006,2006) = 4(2006²) = 4024036.
Car I(n, n) = 2(1 + 2 + 3 + ...+ (2n-1)) + 2n = I(n,0) + n = 4n².

l(B)=l(n;0)=4n²-n
l(2006;2006)=l(2006;0)+2006=16096144

Bonjour, je viens de rentrer et voici une petite énigme sympa pour tous.
l(n;0) = n(4n-1)
l(2006;2006) = 4012² = 16096144

Bonjour
I(1;0)=3;  I(2;0)=14; I(3;0)=33; I(4;0)=60; I(5;0)=95;  I(6;0)=138  =>
I(B) = I(n;0) = 4n²-n
I(2006;2006) = 4.2006²- 2006 +2006 = 4.2006² = 16096144
A plus geo3

Bonjour

Réponses : B(n;0) = n(4n-1) et I(n;n) = B(n;0)+n = 4n² = (2n)² => I(2006;2006) = (2*2006)² = 4012² = 16 096 144

Méthode :

Par récurrence; B(n+1;0) = B(n;0)+8n+3 => ...B(n;0) = n(4n-1)

Et I(n;n) = B(n;0)+n

Merci pour l'énigme,

Philoux

Nota : J'ai cru reconnaître SQN...

M'enfin, c'est le week end ...

l(B) = n.(4n-1)

l(n,n) = l(n,0) + n = 4.n²

l(2006,2006) = 4 x 2006² = 16 096 144

l(B)=n+

l(2006,2006)=16095724

Bonjour,

l(B) avec B( n ; 0) (n > 0):

l(B)=l(n;0)=4.n²-n

si =2006 alors
l( ; )=4.²-+= 4.²
= ( sans avoir oublié le 1 aprés 16096 )

Bonjour




Merci pour l'énigme

_{Trop de devoirs ces temps-ci, je ne pourrais peut-être pas faire toutes les énigmes}

Kévin

Analyse des premières valeirs :

l(1) = 3  = 4*1 - 1
l(2) = 14 = 3 + 11 = 3 + (4*3) -1
l(3) = 33 = 3 + 11 + 19 = 3 + 11 + (4*5) - 1
l(4) = 60 = 3 + 11 + 19 + 27 = 3 + 11 + 19+ (4*7) - 1

On peut en déduire :
l(n) = 4 * (2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*n - n) - n
     = 4 *( 2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*n) - 5n
     = 4 * 2 * (1 + 2 + 3 + ... + n) - 5n
     = 8 * (n+1)*n /2 - 5n
     = 4 * n + 4 * n^2 - 5n
     = 4 * n^2 - n

Cette règle se vérifie sur les exemples:
exemple 0 :
exemple 1 : 3
exemple 2 : 14
exemple 3 : 33
exemple 4 : 60

Pour calculer l(2006, 2006), il suffit d'ajouter 2006 à l(2006) :
l(2006,2006) = 4 * (2006*2006) - 2006 + 2006 = 4 * 2006^2 = 16096144

A+

  Foifoi

l(B) = 4.n² + 7.n + 3

l(2006,2006) = 4*2006² + 7*2006 + 3 + 2006 = 16112195

Bonjour.

Je trouve que la longueur de la spirale carrée peut s'exprimer par :

l(x;y) = 4n(n-1)+kn
avec, pour n>0,
     k=1 si (x;y)=(0,-n)
     k=2 si (x;y)=(n;-n)
     k=3 si (x;y)=(n;0)
     k=4 si (x;y)=(n;n)
     k=5 si (x;y)=(0;n)
     k=6 si (x;y)=(-n;n)
     k=7 si (x;y)=(-n;0)
     k=8 si (x;y)=(-n;-n)

Ainsi, l(n;0)=4n(n-1)+3n

et  l(2006;2006) = 4n(n-1)+4n = 4*2006*2005+4*2006 = 16096144

A+

Bonjour,

je trouve l'expression



Et l(2006;2006)= 16120216

Merci pour l'énigme!

salut tout le monde

l(B) = 4n² - n.
l(2006,2006) = 16095142

Bonjour,

Apres quelques calculs, je trouve l(B)=l(n;0)= (2n)²- n et l(n;n)=(2n)².

La reponse a l'enigme est donc :

l(B) = (2n)²- n

l(2006;2006) = (2*2006)² = 4012² = 16 096 144

Merci pour l'enigme.

minkus

Pour tout entier n>0, on a

On en déduit que I(2006;2006)=16 096 144

Merci pour cette énigme.

MissThé

l(B) = 4n²-n    avec B(n;0) et n>0

l(2006;2006) = 4*2006² = 16 096 144

l(B) = 4n²-n

l(x;x) = 4x²
l(3600 ;3600)= 4 x 3600²= 51840000

Bonjour si on note avec on remarque que .

Donc on resoud cette recurrence et on obtient .

On a ensuite si avec donc .

Bonjour à tous,

Les deux réponses à l'énigme seraient:

1) exprimé en fonction de n, I(B) = (4n - 1 ) n;

2) I(2006;2006) = 16 096 144.

atomium.

Bonjour,
l(B) = 4n²-n

l(2006;2006) = 4*2006² = 16096144

merci pour l'énigme

Je dirais l(n;0)=2n²

et l(2006;2006)= 2*2006²+2006=8050078

Bonsoir à tous et merci pour cette première énigme du mois d'avril, qui je l'espère, ne m'apportera pas un poisson (d'avril)

Alors, j'ai d'abord remarqué que si on décomposait la spirale en 2 par rapport à l'axe des abscisses, on obtient 2 suites arithmétiques de telle sorte qu'on a:
Un = -4 + 4n (la longueur de la spire supérieure passant par le point (n;0)) et
Un = -1 + 4n (la longueur de la spire inférieure passant par le point (n;0)).

Ainsi, on a, par exemple, pour la spire s'arretant au point (1;0):
U1 = -4+4*1 -1+4*1 = 3
et ainsi de suite
U2 = -4+4*2 -1+4*2 = 11
U3 = -4+4*3 -1+4*3 = 19

Il suffit alors d'effectuer la somme simultanée de deux suites pour en découvrir la longueur totale et découvrir que I₃ = U1 + U2 + U3 = 33!

Petits Calculs de somme de suite et après simplifications, il en découle que

I(B) avec B(n;0) = 4n²-n

Bien sur, cette formule ne s'applique qu'aux points situés sur le coté positif de l'axe des abscisses, et donc pour trouver I(2006;2006), il faut d'abord calculer I(2006;0) et simplement ajouter 2006!

On remarque alors facilement que I(n;n)=I(n,0)+n (avec n positif) et donc que

I(C) avec C(n;n) = 4n²

Je trouve donc I(2006;2006) = 4x2006² soit

I(2006;2006)= 16096144

Bonsoir,

l(n,0)=(8(x-1)+3) pour x>0 --> n

et l(2006,2006)=16096144

Merci

Salut à tous !

Ben j'suis toute contente, j'ai eu un "smiley" pour ma première participation aux énigmes ...
Du coup je me lance pour la suivante (celle-ci, la spirale dite infernale).

Voici ma solution :

J'ai remarqué que :
I(1,0)=3 =2*1+2/2
I(2,0)=14 =2*1+2*2+2*3+4/2
I(3,0)=33 =2*1+2*2+2*3+2*4+2*5+6/2
etc ...

Je généralise et j'en déduis que :
I(B)=2(1+2+3+...+2n-1)+2n/n
I(B)=2((2n-1)(2n)/2)+n
I(B)=(2n-1)(2n)+n
I(B)=4n²-n
I(B)=n(4n-1)

Pour I(2006,2006) on fait I(2006,0)+2006
ce qui donne :
I(2006,2006)=16 096 144

Voili voilà, j'espère ne pas m'être lamentablement plantée, mais je suis assez confiante ...

Merci pour l'énigme, bisou à mémé et à la prochaine !

Posons notre suite :





...

En additionnant terme à terme toutes les équations, on obtient :









ou

Bonjour,

Je propose :
l(n;0) = 4n² - n

et l(2006;2006) = l(2006;0) + 2006 = 16 096 144

Merci pour cette énigme.

Salut,

Voici la réponse que j'ai trouvé :

l (B) = 4 n²-n

et l(2006;2006) = 4*2006² =16096144

et ...merci pour la revision des formules des suites !

bonjour,

I(B)=I(n;0)=n(4n-1)
I(n;n)=4n²
donc I(2006;2006)=4*2006²=16096144

bon alors je trouve I(B)= n * (3+(4*(n-1))

je vais pas vous mettre la démonstration, car j'en ai pas... mais ca marche donc ca doit etre ca! lol!!

pour I(2006;2006) = 2006* (3+4*2005) +2006
                  = 16096144

biz a tous

Bonsoir, je pense avoir trouvé :

I(B)=4n²-n
De plus, I(2006;2006)=I(2006;0)+2006=4*2006²-2006+2006=4*2006²=16096144 (si je ne me trompe pas en recopiant ma calculette ).

Merci pour l'énigme ^^

Salut !

De retour de vacances, je trouve : avec B(n;0), n > 0, l(B) = 4n² - n.

Et l(2006;2006) = l(B₂₀₀₆) + 2006 = 4.(2006)² = 16096144


A++

I(B)= n(4n-1)

l(2006;2006) = l(2006;0) + 2006 = 2006*(4*2006-1) + 2006 = 4*2006^2=16096144

Merci à tous de votre participation à cette énigme

Simplification pour caylus : ( 2 )²

Philoux

Puis je suggérer de laisser un peu plus longtemps les challenges posés pendant le WE ?? On a pas ts forcément internet le WE à la maison !!!

Je vais en tenir compte masterfab2, je pensais qu'avec lundi, cela était suffisant mais bon j'essayerai d'y penser...

il ya aussi les déplacements à l'étranger, les confs, les diverses obligations et bcp de boulot !!! il m'arrive souvent d'arriver trop tard !