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Challenge n°175 : carré parfait
Bonjour à tous, nouvelle énigme :
Quel est l'entier qui, si on lui ajoute 304 ou 405, est un carré parfait ?
Bonne chance à tous 
bonjour
réponse proposée : 2196
Merci pour l'énigme,
Philoux
Il s'agit de 2196, à qui, si on ajoute 304 est le carré de 50 et si on ajoute 405 est le carré de 51.
Si j'appelle n le nombre cherché, alors il faut que
n+304=p²
n+405=q²
Donc, en soustrayant les deux égalités, je trouve
101=(q-p)(q+p).
Comme 101 est un nombre premier, je n'ai qu'une solution:
q-p=1 et q+p=101.
Cela me donne q=51 et p=50.
Donc n=2196
Bonjour,
Je trouve qu'en ajoutant 304 ou 405 à 2196, on obtient dans les deux cas un carré parfait :
304 + 2196 = 2500 qui est le carré de 50
405 + 2196 = 2061 qui est le carré de 51
Ma réponse est donc 2196
Merci pour l'énigme.
En effet,
2196 + 304 = 2500 = 50²
2196 + 405 = 2601 = 51²
merci Excel pour sa réponse ultra rapide
2196 est ma réponse
Le problème se traduit par la recherche de l'entier x tel que
x+304=p^2 et x+405=q^2 avec p et q entiers
La différence implique 101=q^2-p^2 c'est à dire 101=(q-p)(q+p)
Comme 101 est premier q-p=1 et q+p=101 et donc p=50, q=51
On a donc x=2196
Bon amusement
Bonjour,
Voila une enigme assez simple quand on la prend par le bon bout, encore un exemple d'enigme pour laquelle la programmation doit etre plus longue que la reflexion.
Soit x le nombre cherche.
On a alors x + 304 = a2 et x + 405 = b2 avec a et b des entiers.
Par soustraction puis factorisation on obtient (b-a)(b+a)=101
Or 101 est premier donc la seule possibilite est b+a=101 et b-a=1 ce qui donne a=50 et b=51.
On en deduit que le nombre cherche vaut 2196.
2196 + 304 = 2500 = 502
2196 + 405 = 2601 = 512
Tres jolie enigme.
Sauf erreur,
minkus
J'ai trouvé à l'aide d'un tableur mais fallait remonter loin !lol
Ma réponse : 2196
2196 + 304 = 2500 
2500 = 50
2196 + 405 = 2601 2601 = 51
@+++
Bonjour,
Dev-C++ m'indique qu'il y a une infinité de solutions.
Par exemple,
CONCLUSION : infinité de solutions!
Code-source Dev-C++ :
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[])
{
long double a,b,c,d,e,rac1,rac2,int1,int2;
a=0;
b=304;
c=405;
do {
d=a+b;
e=a+c;
rac1=sqrt(d);
rac2=sqrt(e);
int1=rac1-int(rac1);
int2=rac2-int(rac2);
if(int1==0)
{
cout<<"Trouve : "<<a<<" et : "<<rac1<<endl;
}
if(int2==0)
{
cout<<"Trouve : "<<a<<" et : "<<rac2<<endl;
}
a++;
}while(a<=100);
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
Merci pour l'énigme,
Benoit
Bonjour,
Je trouve une infinité de solutions comme 992 + 304 qui donne un carré parfait, c-a-d 36². Je trouve plein d'autres exemples comme celui-ci, qui dépassent un million.
Merci pour l'énigme,
Salut!
Bonjour,
on cherche un entier x tel que il existe (y,z) vérifiant x+304=y² et x+405=z² (avec z>y).
Par différence, on a z²-y²=405-304=101 soit encore (z+y)(z-y)=101.
101 étant premier, on a z+y=101 et z-y=1; d'où y=50 et z=51.
Finalement le nombre cherché est 50²-304=51²-405=.
Merci pour l'énigme.
Bonjour, ma réponse est 2196!
En effet,
2196 + 304 = 2500 soit 50²
2196 + 405 = 2601 soit 51²
si j'ai bien compris l'énoncé, 2500 et 2601 sont bien des carrés parfaits! donc ma réponse est 2196
Merci et a bientôt
Salut à tous .... J'ai une solution ...
Soit n l'entier en question (si il existe ...)
Alors il existe i et j deux entiers naturels tels que
i > j
n+405 = i^2
n+304 = j^2
Donc (i-j)(i+j) = i^2 - j^2 = 101
101 etant un nombre premier on a:
i-j = 1
i+j = 101
Donc i = 51 et j = 50
Donc n = 2196
L'entier en question est 2196 ...
J'ai répondue sans démo afin de povoir gagné le maximum de temp possible 
, maintenant que j'ai répondue voici la démo:
supposant x le nbre cherché, a² = x + 405 (1) et b² = x + 306 (2)
(1) - (2) donne a² - b² = 101 ==>(a-b) . (a+b) = 101
or 101 est un nombre premier donc il n'a pour diviseurs que lui même c.a.d 101 et 1 .
comme a+b > a-b alors a + b = 101 et a - b = 1
ce systéme de 2 équations à 2 inconnues aboutit à a=51 et b=50.
de (1) on peut déduire alors que x = a² - 405 = 2196.
Salut !
C'est 2196 !
En effet :
2196+304 = 2500 = 502
2196+405 = 2601 = 512
Et effectivement cet entier est unique.
A++
si je note x l'entier recherché, et
y² = x + 304
z² = x + 405
alors z² = y² + 101
si je note z = y+a
alors (y+a)² = y² + 101
soit a.(2y+a) = 101
a et y sont des entiers et 101 est premier donc la seule solution pour a est a=1 et donc y=50.
On en déduit x = 2500 - 304 = 2196
et on vérifie 2196 + 405 = 2601 = 51²
Réponse : 2196
J'ai répondu trop vite! Je demande aux correcteurs un peu de clémence! La réponse est 2196! 2196+304=2500 et 2196+405=2601 qui sont des carrés parfaits!
...erreur dans le code source...
Rectification du code source :
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[])
{
long double a,b,c,d,e,rac1,rac2,int1,int2;
a=0;
b=304;
c=405;
do {
d=a+b;
e=a+c;
rac1=sqrt(d);
rac2=sqrt(e);
int1=rac1-int(rac1);
int2=rac2-int(rac2);
if(int1==0)
{
if(int2==0)
{
cout<<"Trouve : "<<a<<" et : "<<rac2<<" et : "<<rac1<<endl;
}
}
a++;
}while(a<=100000);
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
En espérant que Puisea fasse preuve de clémence,
Benoit
Bonjour si on note x cet entier alors x+405=k² et x+304=l² donc 101=(k-l)(k+l) or 101 est premier donc k-l=1 et k+l=101 on en deduit k=51 puis x=2196.
Donc la reponse est 2196.
La différence de deux carrés consécutifs (i+1)^2 et (i)^2 vaut 2*i+1, car un carré i^2=somme(1,n,2*i+1) (indice de début,indice de fin, corps de la somme).
On cherche un nombre auquel en rajoutant 304 ou 405 on obtient un carré. Si ces deux carrés sont effectivement consécutifs, il suffit de trouver les carrés consécutifs ayant pour différence 101, soit 2*50+1. C'est donc les carrés 50^2=2500 et 51^2=2601. On retranche 304 à 2500 et on obtient 2196. Pour vérifier, on fait 2196+405=2601=51^2. ça marche!
réponse donc : le nombre recherché est 2196
Bonjour,
Je propose 2196.
En effet :
2196 + 304 = 2500 qui est le carré de 50,
2196 + 405 = 2601 qui est le carré de 51.
Merci pour cette énigme.
ma réponse est 2196.
je suis content je pense avoir réussi cette fois!
Bonjour à tous,
Ce nombre entier serait 2196.
En effet,
- 2196 + 304 = 2500 = 50²;
- 2196 + 405 = 2601 = 51².
atomium.
La différence entre ces deux carrés est 101, qui est un nombre premier; la différence des deux nombres est donc égale à 1 et leur somme à 101: c'est donc 50 et 51
Le nombre cherché est donc 50^2-304=51^2-405=2196
Salut,
J'ai trouvé 2196 mais je crois que j'ai triché, j'ai fait une macro sur excel pour essayer les differentes solutions.
salut à tous :
donc
et comme 101 est premier, la solution est unique,
Le seul entier est 2196 :
soit x l'entier recherché :
x+304 = y2
x+405 = z2
donc z2-y2=101
En faisant une recherche sur Excel les deux carrés pouvant satisfaire à cela sont z=51 et y=50
d'ou : x=502-304=512-405=2196
Merci pour l'énigme
Salut,
Je réponds : 2196...
Espérons que je n'aurais pas un 
de plus dans ma collection ... 
Petite vérification : 2196 + 304 = 2500 = 50²
et 2196 + 405 = 2601 = 51²
Nombre de participations : 0
0,00 %0,00 %
0Temps de réponse moyen : 30:49:27.
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