Bonjour,

Je dirais .

Merci pour l'énigme.

Estelle

Je prendrai a=15, b=7, c=3, d=1 et e=0 soit un total de 26 pièces. Cela donne vingt valeurs possibles pour l'écart à la moyenne (494g): +/- 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 15.
Dans le cas où le sac lourd est le numéro 2 et le sac léger le numéro 4, l'écart est de +6g soit 500g affiché par la balance.
Merci pour l'énigme

Bonjour,

La réponse est 500 grammes.

Il faut prendre 15 pièces dans le sac n°1, 7 dans le n°2, 3 dans le n°3, 1 dans le n°4, et aucune dans le n°5.
On obtient un total de 500 grammes, soit 26*19+6 grammes. Les 6 grammes représentent la masse des 7 pièces du sac n°2 diminuée de la masse de la pièce du sac n° 4.

A+

Le but est de pouvoir identifier les sacs à partir des « différences » deux à deux des nombres de pièces extraites.
En effet, on aura P=19n + X - x, n étant le nombre total de pièces (connu à la pesée) et X et x étant respectivement le nombre de pièces extraites du sac lourd et du sac léger.
On  en déduit immédiatement que deux nombres de pièces extraites ne peuvent pas être égales, car les différences deux à deux avec les autres nombres seraient les mêmes.
On démarre par
e=0,
puis d=1, ce qui donne d-e=1
puis c=3,ce qui donne , c-d=2 et c-e= 3,
puis b=7, ce qui donne b-c=4, b-d=6 et b-e=7
enfin a=12, ce qui donne a-b=5, a-c=9, a-d=11 et a-e=12.
Le nombre total de pièces utilisées sera de n = 0+1+3+7+12= 23 pièces
Dans l'exemple choisi P= 19n+b-d = 19*23 +7-1= 437 +6 = 443 g

Si toutes les pièces pesaient 19 g, la balance afficherait 19(a + b + c + d + e).
La différence entre ce résultat et le résultat réellement affiché est égal à : y  - x, avec y le nombre de pièces de 20 g et x le nombre de pièces de 18 g.

On cherche cinq entiers naturels a ; b ; c ; d ; e tels que :
* 30 a b c d e 0
* Les différences a - b ; a - c ; a - d ; a - e ; b - c ; b - d ; b - e ; c - d ; c - e ; d - e soient toutes différentes.
* Le total a + b + c + d + e soit le plus petit possible.

Une première conséquence est que a ; b ; c ; d et e sont différents.
Pour que le total soit le plus petit possible, on prend d'abord e = 0 et d = 1.
Puis c = 3 (pas 2 car alors c - d = d - e) ; puis b = 7 (si 4, b - c = d - e; si 5, b - c = c - d ; si 6, b - c = c - e). Enfin on prend a = 12 (si 8, a - b = d - e; si 9, a - b = c - d; si 10, a - b = c - e; si 11, a - b = b - c).
On a donc : a = 12 ; b = 7 ; c = 3 ; d = 1 ; e = 0.

Le résultat "théorique " - avec seulement des pièces de 19 g - est alors de : 19(12 + 7 + 3 + 1) = 437 g. La différence avec le résultat affiché est de b - d = 7 - 1 = 6.

La balance affiche donc 437 + 6 = 443 grammes.

J'ai déjà eu cette énigme, mais avec seulement des pièces trop lourdes ou trop légères, donc le raissonnement reste le même et je propose donc :

Il suffit de placer sur la balance 1 poids du 1er lot, 3 poids du 2e lot, 11 poids du 3e lot, 25 du 4e lot et 30 poids du 5e lot.

Les combinaisons possibles de poids affichées sont toutes différentes :
44,3        45,3             45,13333333       44,66666667
44,4        44,23333333      45,23333333       45,06666667
44,6        43,96666667      44,96666667       44,8
43,5        44,5             43,33333333       44,33333333
45,33333333 44,16666667      45,16666667       43,86666667
43,7        44,7             44,06666667       43,6
43,43333333 44,43333333      44,26666667       44
43,53333333 43,36666667      44,36666667

Soit 31 poids possibles,
pour la combinaisons sac 2 à 20 grammes et sac 4 à 18 grammes, le poids affiché est donc
1*19/30 + 3*20/30 + 11*19/30 + 25*18/30 + 30*19/30 = (19+60+209+450+570)/30 = 1308/30 = 43.6 grammes
Merci Excel!
Néanmoins, je suis pour l'instant incapable de garantir de l'unicité de la solution. Toujours est-il que cette combinaison propose un nombre différent pour chaque possibilité, d'où cette proposition =)
Merci pour le grillage de neurones!

Je me permets juste de compléter ma réponse de ce matin, en ne changeant pas ma réponse, mes jstes les valeurs intermédiaires :
45,3         45,13333333  44,66666667 44,4
45,23333333  45,06666667 44,6         44,96666667
44,8         44,5         44,16666667  43,86666667
43,7         44,06666667  43,6        43,43333333
44,26666667  44          43,53333333  43,36666667

Ce qui donne en fait 20 arrangements et non pas 31, mais la solution apparait bien.
Avec mes excuses pour cet ajout tardif, en espérant que ma réponse initiale soit juste.

Bonjour, et merci pour cette énigme amusante.

Je pense qu'il faut prendre des pièces de telle façon qu'aucun écart entre deux ne soit le même!

Je sais pas si vous avez tout compris alors je donne ma réponse:

La pesée fera exatement 443 grammes.

Explications:

Au départ, si on prend

12 pièces du sac 1
7 pièces du sac 2
3 pièces du sac 3
1 pièce du sac 4 et 0 du dernier sac.

Si toutes les pièces pesaient 19 grammes, alors le poids total serait de 437 grammes

Or, comme il y'a deux sacs ne pesant pas 19 grammes, il y'aura donc une différence de poids:

Si cette différence est de 1g, alors les deux sacs concernés sont les sacs 4 et 5,

Si cette différence est de 2g, alors les sacs concernés dont les sacs 3 et 4

Etc, etc...

Pour connaitre le plus lourd des deux, il suffit juste de voir si la différence est positive ou négative.

Ainsi, dans notre exemple, le poids donné est de 443g, soit une différence de + 6 grammes, les sacs concernés sont donc les sacs 2 et 4 et les pièces du sac 2 sont donc les plus lourdes!

j'espère avoir été clair!

Bonne journée,

@ bientot, Chaudrack

443 grammes = 19x23 + 7 - 1
On extrait respectivement 12, 7, 3, et 1 pièces des quatre premiers sacs pour les peser. Les différences de ces nombres entre eux et avec zéro sont toutes distinctes.

Bonjour,

Je n'irai pas jusqu'à la fin du mois d'août, pour cause de vacances dans quelques jours, mais commençons tout de même le challenge du mois.

Si l'on prend le même nombre de pièce dans 2 sacs différents, la pesée n'indiquera pas de façon certaine la répartition des sacs lourds et légers. Donc je propose :
e = 0, d = 1, c = 2, b = 3, a = 4
Il y a donc dans la pesée 3 pièces de 20 grammes, 1 pièce de 18 grammes et 6 pièces de 19 grammes, ce qui fait 192 grammes.

Merci pour cette énigme.

Bonjour, la balance indiquait 443 grammes.

Merci pour l'énigme. La soluce suit.

Voici ma solution. Après avoir tâtonné un peu, j'ai mis le problème en équations

On appelle x la masse de la pièce "normale", donc on aura par exemple

ax + b(x+1) + cx + d(x-1) + ex = masse totale pesée.

On veut donc que (a+b+c+d+e)x +b - d soit unique. Il faut donc avoir à chaque fois une différence unique entre a, b, c, d et e.
On aura donc a=12, b=7, c=3, d=1 et e=0 car a est le plus grand (j'ai bien failli les prendre dans l'ordre inverse)

Pour être plus sûre, j'ai fait un tableau, et on a effectivement des valeurs uniques.

La masse totale sera de (a+b+c+d+e)*x + b - d = 23*19 + 7 - 1 = 443

Je vous mets mon tableau pour faire joli, car il ne m'a servi que pour vérifier que les masses étaient uniques.

Bonjour,

Je tente ma chance, en esperant ne pas commencer le mois avec un poisson !

si ca devait etre moi qui faisait l'experience, je prendrais: a=12; b=7; c=3; d=1 et e=0. Avec ces nombres de pièces, il me semble que l'on peut determiner a coup sur le poids des pieces.
Et donc, je trouve un poids minimal de 431 g.

Merci pour l'enigme.

bonsoir,
je trouve que la balance indique443 grammes.
bonne soirée

La balance indiquait 443 grammes
a=12
b=7
c=3
d=1
e=0

Re-bonjour,
Je réalise que je me suis planté en beauté : et bien ce sera un poisson pour commencer le mois... En prenant 3 minutes depuis le boulot, c'est pas terrible comme méthode.

Donc merci pour ... le poisson...

Bonsoir,

j'avais posé un problème assez analogue il y a une quinzaine de jours sur l'expresso Paquets de bonbons (4).
Il ne manquerait plus que je me plante...

Le raisonnement est le suivant :

1E ETAPE : on ignore les paquets concernés:

Il faut non seulement pouvoir attribuer un " coefficient d'erreur " à chaque paquet, mais aussi à chaque couple possible de paquets léger/lourd.

On doit donc avoir 5 nombres différents de pièces pour chaque paquet mais également 10 nombres différents de pièces pour chacun des dix couples de paquets intrus.

Pour ensuite déterminer intrinsèquement au couple de paquets, lequel est léger et lequel est lourd, il suffira de voir si la balance présente un défaut ou un excès par rapport à la masse " normale " ( celle obtenue avec 5 paquets identiques ).

Dans le 1e cas, le paquet dont l'indice est le plus petit ( le plus représenté sur la balance ) sera le plus léger, dans le second cas il sera le plus lourd.

1)
Le minimum à mettre est de 0 pièce du sac n°5 donc e = 0.

2)
Il suffit ensuite d'1 pièce du sac n°4 donc d = 1.
On a donc |sac4 - sac5| = 1

3)
La plus petite différence possible ( en valeur absolue ) est désormais 2, et on l'obtient en mettant 3 pièces du sac n°3, donc c = 3.
On a donc :
|sac4 - sac5| = 1
|sac3 - sac4| = 2
|sac3 - sac5| = 3

4)
La plus petite différence possible ( en valeur absolue ) est désormais 4, et on l'obtient en mettant 7 pièces du sac n°2, donc b = 7.
On a donc :
|sac4 - sac5| = 1
|sac3 - sac4| = 2
|sac3 - sac5| = 3
|sac2 - sac3| = 4
|sac2 - sac4| = 6
|sac2 - sac5| = 7.

5)
Enfin, la plus petite différence possible ( en valeur absolue ) est désormais 5, et l'on ne doit pas réobtenir de cas où la différence est 6 ou 7.
Cela s'obtient en mettant 12 pièces du sac n°1 donc
a = 12.
On a donc :
|sac4 - sac5| = 1
|sac3 - sac4| = 2
|sac3 - sac5| = 3
|sac2 - sac3| = 4
|sac2 - sac4| = 6
|sac2 - sac5| = 7
|sac1 - sac2| = 5
|sac1 - sac3| = 9
|sac1 - sac4| = 11
|sac1 - sac5| = 12

2E ETAPE : on connaît les paquets concernés:

Sachant désormais que l'on met au total 23 pièces, la masse " normale " devrait être de 23X19 = 437 grammes.

Sachant que l'on a mis une pièce du sac léger ( n°4 ) et 7 pièces du sac lourd ( n°2 ), la balance a présenté l'addition d'un défaut d'1X1 gramme et d'un excès de 7X1 gramme, soit un excès de 6 grammes par rapport à la masse " normale ".

LA BALANCE AFFICHAIT DONC 437 + 6 = 443 GRAMMES

Salut puisea et bonjour à tous

Je vais rester sur ma première idée ...

Réponse proposée :  la balance indiquait  

En effet, pour moi en notons (a,b,c,d,e) les pièces extraites dans chaque sac, je trouve que le couple répondant à la question (donc le plus petit possible) est :

(23,22,5,3,2)

Ma but était de trouver un couple qui au final donnerais un poids (si on vire le sur 30 temporairement) multiple de 19. Ainsi, on était sur que le poids du sac à 20g et le poids du sac à 19g se compensait pour donner un multiple de 19 ...

PS : je ne suis pas sur que ma solution soit la plus petite demandée, mais je tente ma chance.
PS 2 : après plus de 10 feuilles de brouillons, je n'allais pas ne pas répondre :D

Merci pour l'énigme Pierre !!

Romain

Dans le cas présent, l'expression de la masse de la pesée s'écrit :
M=a19+b20+c19+d18+e19

Soit:
M=19(a+b+c+d+e)+(b-d)

On voit donc que la différence entre le nombre de pièces du sac léger et du sac lourd est directement liée à la pesée.

Il faut donc se débrouiller pour que les différences entre les nombres de pièces prises dans les sacs soit toutes différentes deux à deux, ce qui permettra de détermeiner de manière unique (grâce au signe de la différence) quels sont les sacs lourd et léger.

On choisit donc les valeurs suivantes:
a=15
b=7
c=3
d=1
e=0

Pour ces valeurs, la pesée avait la masse suivante:
M=19(15+7+3+1)+(7-1)
M=1926+6
M=500 grammes

Bonjour
La balance indiquait la mesure de 6.4 grammes.
car en utilise qu'un total de 4 pièce

Lotfi zzouin

Bonjour à tous !

La masse totale est M = 19*(a+b+c+d+e) + (y-x)
avec (x,y) un couple choisi parmi a, b, c, d, e
Il fuat donc qu'à chaque couple (x,y) corresponde une différence "x-y" différente

Ainsi on trouve assez facilement que a=15, b=7, c=3, d=1 et e=0

La masse totale est donc M = 500 g

Bonjour

La balance indiquait grammes.

Kévin

Bonjour
Si jamais il y a une faute en lecture ce que je voulais dire c'est bien 6,4(virgule).
C'est la même réponse sauf que j'ai peur qu'elle soit mal lu.

Merci

Bonjour,

la balance indiquait

Belle énigme. Merci Puiséa pour cette reprise d'août.

A bientôt, KiKo21.

Il y avait effectivement une "légère différence"...

C'était a>b>c>d>e>0 et pas 0<a<b<c<d<e

Estelle

Bonjour
12.19 + 7.20 + 3.19 + 1.18 + 0.19 = 443 grammes
La balance indiquait
A+

75g

a=15, b=7, c=3, d=1 e=0
Soit 500g sur la balance

Merci à tous de votre participation.

Merci puisea pour cette énigme où je m'apperçois mettre planté doublement :

1) Je divise mon résultat par 30, je ne sais pas pourquoi
2) Je suis parti sur une mauvaise piste.

D'ailleurs, en parlant de ça, j'ai une question à poser à tout le monde :

En admettant que la question était :

" On choisit les valeurs de a, b, c, d, e, pour qu'en une seule pesée (qui se trouve être un multiplie de 19) utilisant le nombre total de pièces le plus petit possible, on soit certain de déterminer le sac lourd, et le sac léger.

On trouve ainsi que le sac contenant les pièces de 20 grammes est le sac 2, et que celui contenant les pièces de 18 grammes est le sac 4.

Quelle masse indiquait la balance ? On donnera la réponse en grammes "

Est-ce que l'on peut faire mieux que 1064 ?

Merci d'avance à ceux qui trouveront un peu de temps pour se pencher sur la question !!

Romain

Quelle guigne ! Je n'ai pas pris le temps de regarder si un nombre entre 7 et 15 pouvait convenir
La prochaine fois, je réfléchirai un peu plus longtemps !!!

Bonjour Lyonnais,

je trouve deux solutions à ton problème:

1ère: J'ai considéré que, à la différence de l'énigme, on n'est pas obligé de respecter a>b>c>d>e (tu ne l'as pas précisé!)

Je trouve alors

Sac a: 0
Sac b: 1
Sac c: 3
Sac d: 20
Sac e: 7

Ces valeurs permettent d'avoir des mesures toutes différentes pour un total de 570g

2ème: Si je respecte les conditions d'ordre de poids

Sac a: 24
Sac b: 20
Sac c: 3
Sac d: 1
Sac e: 0

Ces valeurs permettent aussi d'avoir des mesures différentes mais le total pesé est de 931.
¨
Pour ces deux solutions, j'avais remarqué que le nombre de pièce du sac à 18 noté x et celui du sac à 20 noté y doivent respecter la condition:

18x + 20y = 19k (avec k)

Je trouve alors x=1 et y=20 ou x=20 et y=1

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

J'ai lu > au lieu de (toujours pas changé de lunettes)!!
Et j'ai donc pris e=1 !! Après, c'est peut-être faux...

Ca commence bien, Quel je fais.
Bornéo, tu peux me traiter de bourricot !!

A+, KiKo21

Oui kiko, c'est quand-même faux, car ta solution aurait du être:

Sac a: 13
Sac b: 8
Sac c: 4
Sac d: 2
Sac e: 1

soit un total de 538 grammes et non 595!

@ plus, Chaudrack

Tu as considérés 16 pièces pour le sac 1 alors que 13 suffisait!

Même erreur que Alfred en commençant avec 0 pièces!

donc pas de regrets!

@ plus, Chaudrack

tu as considéré bien sur

>> bonjour chaudrack

Tout d'abord, je tiens à préciser que je gardais les mêmes conditions que dans l'énoncé de puisea, donc a > ...

Merci pour ta réponse, je m'apperçois, bien que j'ai appliqué la même méthode que toi, que j'ai zappé une solution : 931 ça me semble en effet pas mal du tout :D

Romain

Bonjour à tous.
Elle a fait mal, celle là

Estelle : c'est le genre d'erreur qu'on ne fait qu'une fois. J'ai bien failli la faire aussi, mais je relis toujours l'énoncé avant de poster, surtout si je suis une des premières à poster. C'est une erreur bête du genre confondre diamètre et rayon, mm et m, etc...
C'est dur de démarrer le mois avec un poisson, mais comme tu n'es pas la seule, ce n'est pas dramatique. Il y a quelques pros qui se sont plantés aussi.

Kiko : Je ne vais pas te traiter de bourricot, puisque c'est le pseudo d'un de nos GM Ce moi-ci, il va falloir s'accrocher, car j'en vois quelques uns qui ont l'air très motivés.

Salut Borneo,

Moi, c'est vrai, je suis assez motivé, mais je pars en vacances une petite semaine du 14 au 20 Aout!

Alors si j'ai de la chance, je ne louperai pas trop d'énigmes!

@ plus, Chaudrack

Salut Chaudrack. Moi aussi, je pars, mais à part sur Clipperton, on trouve toujours un cyber-café

Salut borneo,

A l'avenir, je relirai toujours l'énoncé aant de poster, c'est certain .

Merci de tes encouragements

Estelle

Ouais Borneo, mais si je n'accorde pas également des vacances à ma copine, elle risque bien de ne plus l'être longtemps

Alors PAS d'énigme pendant 6 jours pour moi!

et puis, ça se trouve, je me serai déjà trompé sur une ou plusieurs énigmes, et donc a ce moment là, pas de regrets!

J'ai effectivement tendance à faire des erreurs dans la précipitation

@ plus, Chaudrack

je pensais qu'on était tous sur clipperton!

N'est-il pas vrai que l'ile est une ile de la passion

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

> Chaudrack : merci pour la correction et bonnes vacances à toi.

> Bornéo : dur, dur, la reprise pour moi. les vacances ont fait des dégâts !

A+, KiKo21.