Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths 1ère > Trigonométrie : pour aller plus loin
Soit le carré ABCD de centre O.
Donner une mesure des angles suivants en radians :
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
On considère un cercle
de centre A et B un point de ce cercle.
1. Construire les points C, D, E et F du cercle tels que :
=\frac{\pi}{3})
=\frac{3\pi}{4})
=\frac{7\pi}{6})
=-\frac{3\pi}{4})
2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
, (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AF}), (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}), (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE}))
On considère un quadrilatère ABCD.
1. Démontrer que :+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD}))
.
2. En déduire la somme :+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}))
.
ABCD est un carré. ABJ et CBK sont des triangles équilatéraux tels que J est à l'intérieur du carré et K est à l'extérieur.
1. Déterminer la mesure principale de l'angle)
.
2. Déterminer la mesure principale de l'angle)
.
3. Démontrer que les points D, J et K sont alignés.
1. On considère un triangle ABC rectangle en A de sens direct tel que=\frac{\pi}{3})
à
2
près.
On construit à l'extérieur de ce triangle, les triangles équilatéraux AEB et ACD.
2. Déterminer les mesures principales des angles suivants :
, (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}), (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}) \text{ et } (\overrightarrow{EB},\overrightarrow{AC}))
1.=-\frac{\pi}{2})
(on tourne dans le sens inverse du sens trigonométrique)
2.=\frac{\pi}{4})
(il s'agit de l'angle que fait une diagonale avec un côté)
3.=(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC})+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4})
4.=0)
(car les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens)
5.=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}) \text{ (d'après la relation de Chasles) } \\ =(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})+\pi \\ =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi \\ =\frac{3\pi}{2}(=-\frac{\pi}{2} \text{ à 2 }\pi \text{ près }))
1. On obtient la figure suivante :
3.=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} \\ (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AF})=(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}) \\ =-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})=-\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \text{ à 2 }\pi \text{ près })
.
=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})= -\frac{7\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \text{ à 2 }\pi \text{ près } \\ (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \\ =\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{12}=-\frac{11\pi}{12} \text{ à 2 }\pi \text{ près } \\ (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE})=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}) =\frac{3\pi}{4}+\frac{7\pi}{6}=\frac{23\pi}{12}=-\frac{\pi}{12} \text{ à 2 }\pi \text{ près })
.
1.+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD}))
2.+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD}) \\ =(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CD}) \\ =0)
1. Le triangle ABJ est équilatéral. Donc AB = AJ et=\frac{\pi}{3})
.
ABCD est un carré. Par conséquent AB = AD et=\frac{\pi}{2})
On en déduit donc que ADJ est un triangle isocèle
et=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AJ})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6})
La somme des angles d'un triangle est égale à et, dans un triangle isocèle, les angles de la base ont la même mesure.
Par conséquent, dans le triangle ADJ,=\frac{\pi-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{5\pi}{12})
D'après la relation de Chasles=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DJ})+(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DC}))
Donc)
Ainsi=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{12})
2. Le triangle BCK est équilatéral. Donc CK = CB et=\frac{\pi}{3})
D'après la relation de Chasles :
=(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CK})=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6})
Puisque ABCD est un carré, CD = CB et le triangle CDK est isocèle en C.
On a alors=\frac{\pi-\frac{5\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{12})
Donc=-\frac{\pi}{12})
3. D'après la relation de Chasles :
 = (\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DK}) =\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{12}=0 )
Les points D, J et K sont donc alignés.
La somme des angles d'un triangle vaut.
Donc, dans le triangle ABC rectangle en A on a : = \pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6})
Ainsi = -\frac{\pi}{6})
Le triangle ACD est équilatéral. Par conséquent = \frac{\pi}{3})
 = (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) \\ = \frac{\pi}{3}+\pi-\frac{\pi}{3} \\ = \pi)
 = (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+\pi+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})+\pi \\ =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi+\frac{\pi}{3}+\pi \\ = \frac{19\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \text{ à 2 }\pi \text{ près })
=(\overrightarrow{EB},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \\ =(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BA}) + \frac{\pi}{2} \\ = -\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2} \\ =\frac{\pi}{6})
Publié par Tom_Pascal
le
5 exercices sur les angles orientés
exercice 1
Soit le carré ABCD de centre O.
Donner une mesure des angles suivants en radians :
1.
2.
3.
4.
5.
exercice 2
On considère un cercle
1. Construire les points C, D, E et F du cercle
2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
exercice 3
On considère un quadrilatère ABCD.
1. Démontrer que :
2. En déduire la somme :
exercice 4
ABCD est un carré. ABJ et CBK sont des triangles équilatéraux tels que J est à l'intérieur du carré et K est à l'extérieur.
1. Déterminer la mesure principale de l'angle
2. Déterminer la mesure principale de l'angle
3. Démontrer que les points D, J et K sont alignés.
exercice 5
1. On considère un triangle ABC rectangle en A de sens direct tel que
2
près.
On construit à l'extérieur de ce triangle, les triangles équilatéraux AEB et ACD.
2. Déterminer les mesures principales des angles suivants :
exercice 1
1.
2.
3.
4.
5.
exercice 2
1. On obtient la figure suivante :
3.
exercice 3
1.
2.
exercice 4
1. Le triangle ABJ est équilatéral. Donc AB = AJ et
ABCD est un carré. Par conséquent AB = AD et
On en déduit donc que ADJ est un triangle isocèle
et
La somme des angles d'un triangle est égale à
et, dans un triangle isocèle, les angles de la base ont la même mesure.
Par conséquent, dans le triangle ADJ,
D'après la relation de Chasles
Donc
Ainsi
2. Le triangle BCK est équilatéral. Donc CK = CB et
D'après la relation de Chasles :
Puisque ABCD est un carré, CD = CB et le triangle CDK est isocèle en C.
On a alors
Donc
3. D'après la relation de Chasles :
Les points D, J et K sont donc alignés.
exercice 5
La somme des angles d'un triangle vaut
.
Donc, dans le triangle ABC rectangle en A on a :
Ainsi
Le triangle ACD est équilatéral. Par conséquent
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