Fiche de mathématiques

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Exercices de Trigonométrie #2

exercice 1

1. Résoudre, dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ , l'inéquation : $\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ en s'aidant du cercle trigonométrique.

2. Résoudre, dans l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ , l'équation $\cos ( 2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Représenter ensuite les solutions sur le cercle trigonométrique.

exercice 2

1. Résoudre l'équation $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
1.a. sur l'intervalle $[0 ; \pi]$
1.b. sur l'intervalle $[-\pi ; \pi]$
2. Résoudre l'équation $\cos 2x = 0 \text{ sur } [-\pi ; \pi]$ .

exercice 3

Résoudre sur l'intervalle I indiqué les équations suivantes :
1. $\sin x = \cos ( x + \frac{\pi}{3}), I = ]0 ; \pi [$
2. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 , I = ]0 ; 4\pi[$
3. $\sin (3x - \frac{\pi}{6}) + \cos ( 2x - \frac{\pi}{3}) = 0, I = ]-\pi ; \pi[$

exercice 4

Résoudre dans $]-\pi ; \pi]$ l'équation $4\cos ^2 x - 1 = 0$ et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

exercice 5

Résoudre dans R les équations suivantes :

1. $2 \cos ^2 x - \cos x = 0$

2. $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Correction

exercice 1

1. On trace sur le cercle trigonométrique les droites d'équation $y = \frac{1}{2} \text{ et } y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

On en déduit donc que la solution, dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ , de l'inéquation $\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ est } ]\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}[\cup]\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}[$ .

2.
$\cos ( 2x -\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow (2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } (2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4} + 2k'\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \quad k' \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } 2x = 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad k' \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad k' \in \mathbb{Z}$

Par conséquent l'ensemble solution de cette équation appartenant à l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ est : { $0 ; \frac{\pi}{4} ; \pi ; \frac{5\pi}{4}$ }

exercice 2

1. $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{3\pi}{4} + 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$
1.a. Donc sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ la solution est $\frac{3\pi}{4}$ .
1.b. Donc sur l'intervalle $[-\pi ; \pi]$ les solutions sont ${\frac{3\pi}{4} ; -\frac{3\pi}{4}}$ .

2.
$\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

L'ensemble solution de l'équation sur l'intervalle $[-\pi ; \pi]$ est donc { $-\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}$ }.

exercice 3

Résoudre sur l'intervalle I indiqué les équations suivantes :
1.
$\sin x = \cos ( x + \frac{\pi}{3}) \\ \Leftrightarrow \cos ( \frac{\pi}{2}- x) = \cos ( x + \frac{\pi}{3}) \\ \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} - x = x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } \frac{\pi}{2} - x = -x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow -2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } \frac{5\pi}{6} = 2k\pi \text{(impossible)}, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} - k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Sur $I = ]0 ; \pi[$ la solution est donc $\frac{\pi}{12}$ .

2. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

Sur $I = ]0 ; 4\pi[$ l'ensemble solution est donc { $\frac{\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6} ; \frac{13\pi}{6} \frac{23\pi}{6}$ }

3.
$\sin (3x - \frac{\pi}{6}) + \cos (2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3}) = - \sin (3x - \frac{\pi}{6}) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \sin (\frac{\pi}{6} - 3x) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 3x) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \cos (\frac{\pi}{3} + 3x) \\ \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 3x + 2k\pi \text{ ou } 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} - 3x + 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow -x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } 5x = 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x = - \frac{2\pi}{3} - 2k\pi \text{ ou } x = \frac{2k'\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

Sur l'intervalle $I = ]-\pi ; \pi[$ l'ensemble solution est $\lbrace \frac{-4\pi}{5} ; \frac{- 2\pi}{3} ; \frac{-2\pi}{5} ; 0 ; \frac{2\pi}{5} ; \frac{4\pi}{5} \rbrace$ .

exercice 4

$4cos^2 x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (2\cos x - 1)(2\cos x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \text{ ou } 2\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \text{ ou } \cos x = -\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

L'ensemble solution est donc { $-\frac{2\pi}{3} ; -\frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3}$ }

exercice 5

1.
$2\cos ^2 x - \cos x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x (2\cos x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x = 0 \text{ ou } \cos x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{2} + 2k'\pi \text{ ou } x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{3} + 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

2.
$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k'\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + k\pi \text{ ou } x = \frac{3\pi}{8} + k' \pi, \quad k \in \mathbb{Z}\, \quad k' \in \mathbb{Z}$

Publié par Tom_Pascal le 24-05-2018

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