Fiche de mathématiques
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Exercice de synthèse dans le plan

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Fiche relue en 2016.


Exercice : On considère un triangle ABC quelconque. On appelle O le milieu de [BC]. Le cercle de centre O passant par B coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en M et N.

On appelle H le point d'intersection des droites (BN) et (CM).

On appelle P le symétrique de N par rapport à O.
1. Faire une figure. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites (AH) et(BC) ? pour la nature du quadrilatère BNCP ?
2. Démontrez vos conjectures.







1.
Exercice de synthèse dans le plan : image 1


Conjecture : Il semblerait que les droites (AH) et (BC) soient perpendiculaires et que BNCP soit un rectangle.

2. Les points M et N appartiennent au cercle de diamètre [BC]. Donc les triangles BMC et BNC sont rectangles respectivement en M et N.
Par conséquent les droites (BN) et (CM) sont des hauteurs du triangle ABC.
Leur point d'intersection est H, qui est alors l'orthocentre de ce triangle.
La droite (AH) est donc la troisième hauteur du triangle ABC. On en déduit alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Le point P est le symétrique du point N par rapport au point O. Par conséquent O est le milieu de segment [NP]. Or O est le milieu du segment [BC].
Les diagonales du quadrilatère BNCP se coupent donc en leur milieu.
Cela signifie alors qu'il s'agit d'un parallélogramme.
De plus on a montré précédemment que les droites (BN) et (NC) sont perpendiculaires.
Le parallélogramme BNCP possède donc un angle droit. BNCP est donc un rectangle.
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