Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Polynésie Française - Session Septembre 2008

4 points sont réservés à la présentation et à la rédaction.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est interdit.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite.
Les détails des calculs ne sont pas demandés sur la copie.

	Réponse Numéro 1	Réponse Numéro 2	Réponse Numéro 3	Numéro de la réponse choisie
A	$\dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}$ est égal à	$\dfrac{111}{4}$	$18$	$\dfrac{35}{2}$
B	$\dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{-3}}{21 \times 10^2}$ est égal à :	1 800	18 000 000	18 000
C	Le nombre $\left(30\sqrt{2}\right)^2$ est égal à :	60	3 600	1 800
D	Pour tout nombre $x,{} (5x - 2)^2$ est égal à :	$5x^2 -20x+4$	$25x^2 - 4$	$25x^2 - 20x + 4$
E	L'équation $(2x-3) (x +4)=0$ admet pour solutions :	$\dfrac{2}{3}$ et $-4$	$\dfrac{3}{2}$ et $-4$	$-\dfrac{3}{2}$ et $4$
F	Un objet coûte 12 000 F. Son prix augmente de 5 %. Quel sera son nouveau prix ?	12 600 F	12 500 F	11 400 F
G	Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?	2h 20 min	2h 12 min	60 min

exercice 2

Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés.
II veut confectionner des coffrets « Souvenirs de Tahiti et ses Îles » de sorte que :
    le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ;
    le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ;
    toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés.

1. Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ?
Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ?

2. a) Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée.
    b) Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ?
Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ?

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2008 - troisième : image 1

Cette figure n'est pas en vraie grandeur 0n considère la figure ci-dessus dans laquelle :
    AB = 6 cm et $\widehat{\text{BAM}}$ = 60° ;
    $\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB] ;
    AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ .

Partie A :

1. Que représente le cercle $\mathcal{C}$ pour le triangle AMB ?
2. Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ?
3. Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle 120°, dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Partie B :

1. En utilisant le cosinus de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$ , calculer AM.
2. Combien mesure l'angle $\widehat{\text{BOM}}$ ? Justifier.

exercice 2

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2008 - troisième : image 2

Cette figure n'est pas en vraie grandeur Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.
Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire.
Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-contre tel que :
AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; CF = 25.

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ du triangle ABC est égale à 54cm².

3. En déduire le volume $\mathcal{V}$ du prisme droit en cm³.
(On rappelle que : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ avec $\mathcal{B}$ l'aire de la base en cm² et $h$ la hauteur du prisme en cm).

4. Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE. L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment [MN].

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2008 - troisième : image 3

La figure ci-dessus n'est pas en vraie grandeur (MN) // (BC)
AM = 10
AB = 12
AC = 9
BC = 15

Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN.
a) Refaire cette figure en vraie grandeur.
b) Calculer AN.

12 points

Problème

Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules :
1^ère formule : Payer 1 000 Francs par ticket.
2^ème formule : Acheter une carte de fidélité annuelle à 2 500 Francs, puis payer 700 Francs par ticket.

Partie A

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre de tickets achetés en un an	5
Prix à payer (en F) avec la 1^ère formule		14 000
Prix à payer (en F) avec la 2^ème formule

2. Soit $x$ le nombre de tickets achetés en 1 an.
On note F₁ le prix à payer (en Francs) avec la première formule et F₂ le prix à payer (en Francs) avec la deuxième formule.

Parmi les quatre fonctions suivantes : $x \longmapsto x+ 1000~ ~;~~ x \longmapsto 1000x~~ ;~~ x \longmapsto 700x + 2 500~~ ;~~x \longmapsto 2500x +700$ laquelle correspond à F₁ ? Laquelle correspond à F₂ ?

3. Si l'on dépense 16 500 Francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en an ?

4. Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an.

Année	2003	2004	2005	2006	2007
Nombre de tickets achetés	1	8	20	12	14

5. Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année.
Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier.

Partie B

1. Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes :
en abscisses : 1 cm pour 1 ticket acheté.
en ordonnées : 1 cm pour 1 000 Francs.
Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$\begin{array}{l c l} f(x)& = &1000 x \\ g(x)&=&700x + 2500 \end{array}$ On répondra aux questions 2. à 4. en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.
2. Pour 15 tickets de cinéma achetés en une année :
Quel est le prix à payer avec la première formule ?

3. Avec un budget annuel de 12 000 F consacré au cinéma :
Combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ?

4. Sur une année, à partir de combien de tickets, la deuxième formule devient plus avantageuse que la première formule pour Manutea ?

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Activités numériques

exercice 1

	Réponse Numéro 1	Réponse Numéro 2	Réponse Numéro 3	Numéro de la réponse choisie
A	$\dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}$ est égal à	$\dfrac{111}{4}$	$18$	$\dfrac{35}{2}$	2
B	$\dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{-3}}{21 \times 10^2}$ est égal à :	1 800	18 000 000	18 000	1
C	Le nombre $\left(30\sqrt{2}\right)^2$ est égal à :	60	3 600	1 800	3
D	Pour tout nombre $x,{} (5x - 2)^2$ est égal à :	$5x^2 -20x+4$	$25x^2 - 4$	$25x^2 - 20x + 4$	3
E	L'équation $(2x-3) (x +4)=0$ admet pour solutions :	$\dfrac{2}{3}$ et $-4$	$\dfrac{3}{2}$ et $-4$	$-\dfrac{3}{2}$ et $4$	2
F	Un objet coûte 12 000 F. Son prix augmente de 5 %. Quel sera son nouveau prix ?	12 600 F	12 500 F	11 400 F	1
G	Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?	2h 20 min	2h 12 min	60 min	2

A. Justification : Réponse 2
Calculons A :
$A = \dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5} \times \dfrac{15}{2} \\ A = \dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{5} \times \dfrac{5 \times 3}{2} \\ A = \dfrac{3}{2}+\dfrac{11 \times 5 \times 3}{5 \times 2} \\ A = \dfrac{3}{2} + \dfrac{11 \times 3}{2} \\ A = \dfrac{3}{2} + \dfrac{33}{2} \\ A = \dfrac{3+33}{2} \\ A = \dfrac{36}{2} \\ \boxed{A = 18}$

B. Justification : Réponse 1
Calculons B :
$B = \dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{-3}}{21 \times 10^2}$ or 14 = 2 × 7 et 27 =3 × 9
$B = \dfrac{2 \times 7 \times 3 \times 9}{7 \times 3} \times 10^{7-3-2} \\ B = 2 \times 9 \times 10^2 \\ \boxed{B = 1800}$

C. Justification : Réponse 3
Calculons C :
$C = (30\sqrt{2})^2 \\ C = (3 \times 10 \times \sqrt{2})^2 \\ C = 3^2 \times 10^2 \times 2 \\ C = 9 \times 2 \times 10^2 \\ C = 18 \times 10^2 \\ \boxed{C = 1800}$

D. Justification : Réponse 3

Rappel : Identité remarquable

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b)*(a + b)

Développons D :
$D = (5x - 2)^2 \\ D = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 2 + 2^2 \\ \boxed{D = 25x^2 - 20x + 4}$

E. Justification : Réponse 1
Résolvons l'équation $(2x - 3) \times (x + 4) = 0$ :
Un produit est nul si l'un ses facteurs est nul, et réciproquement.
Donc : $2x - 3 = 0$ ou $x + 4 = 0$
$2x = 3 \hspace{50pt} \boxed{x = -4} \\ \boxed{x = \frac{3}{2}}$
Les solutions de l'équation sont -4 et $\dfrac{3}{2}$ .

F. Justification : Réponse 1
Calculons le prix après augmentation :
On a le prix du produit qui est additionné à l'augmentation qui lui ai donné : $12000 + 12000 \times 0,05 = 12600$ .
Le nouveau prix du produit est donc : 12 600F.

G. Justification : Réponse 2
Déterminons le temps du parcours :
Il roule durant 110 km à une vitesse constante de 50 km/h, c'est à dire : $\dfrac{110}{50} = 2,2h$ or 0,2 h = 0,2 × 60 = 12 min.
Donc le temps de parcours est de : 2 h 12 min.

exercice 2

1. Déterminons le nombre de coffret :
On a : 230 porte-clés, dont chacun des coffrets contenant 10 porte-clés. Soit : $\dfrac{230}{10} = 23$ .
Donc il est possible de confectionner : 23 coffrets contenant 10 porte-clés chacun.

Déterminons le nombre de cartes postales :
Il y a : 276 cartes postales et 23 coffrets. Soit : $\dfrac{276}{23} = 12$
Donc dans un coffret : il y a 12 cartes postales

2. a) Déterminons le PGCD de 276 et 230 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
276 = 230 × 1 + 46
230 = 46 × 5 + 0
Le dernier reste non nul est 46.
Donc : le PGCD de 276 et 230 est 46.

2. b) Déterminons le plus grand nombre de coffrets identiques :
On a vu que le plus grand diviseur commun de 276 et 230 est 46.
Donc : le plus grand nombre de coffrets pouvant être confectionnés est 46.

Déterminons la composition des coffrets :
On a : $\dfrac{276}{46}=6$ et $\dfrac{230}{46}=5$
Donc chacun des coffrets sera composé de : 6 cartes postables et 5 porte-clés.

Activités géométriques

exercice 1

Partie A

1. Déterminons la nature du cercle $\mathcal{C}$ pour le triangle AMB :
On sait que :
$\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB].
AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ .
Alors le point M appartient au cercle $\mathcal{C}$ et le triangle AMB est un triangle rectangle en M.
Donc : le cercle $\mathcal{C}$ est le cercle circonscrit du triangle AMB.

2. Déterminons l'image du point A par la symétrie central de centre O :
On a : [AB] diamètre du centre $\mathcal{C}$ et O le centre du cercle.
D'où : le point O est le milieu de [AB].
Donc : B est l'image de A par la symétrie centrale de centre O.

3. Déterminons l'image de M par la rotation de centre O et d'angle 120° :
On a : OA = OB = OM et $\widehat{MAO} = 60°$
Alors les triangles : AMO et MBO sont isocèles en O.
D'où : $\widehat{MAO} = \widehat{AMO}$ et $\widehat{OMB} = \widehat{OBM}$
Déterminons $\widehat{OMB}$ :
On a : $\widehat{AMB} = 90°$
D'où : $\widehat{AMB} = \widehat{AMO}+\widehat{OMB}$
$\Longleftrightarrow \widehat{OMB} = \widehat{AMB}-\widehat{AMO}\\ \widehat{OMB} = 90-60\\ \widehat{OMB} = 30$
Donc : $\widehat{OMB} = 30°$ .
Déterminons $\widehat{MOB}$ :
On sait que la somme des angles dans un triangle est égal à 180°.
D'où : $180° = \widehat{MOB}+\widehat{OMB}+\widehat{OBM}$ or $\widehat{OMB} = \widehat{OBM} = 30°$
$\Longleftrightarrow 180 = \widehat{MOB}+2 \times \widehat{OMB} \\ \Longleftrightarrow \widehat{MOB} = 180-2 \times \widehat{OMB} \\ \widehat{MOB} = 180-2 \times 30 \\ \widehat{MOB} = 120°$
Donc : $\widehat{MOB} = 120°$ .
Et donc : B est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle 120°.

Remarque : on peut montrer plus rapidement que $\widehat{MOB} = 120°$ en utilisant le fait que l'angle au centre $\widehat{MOB}$ est égal au double de l'angle inscrit $\widehat{BAM}$ (ces deux angles interceptent le même arc).

Partie B

1. Calculons AM :
$\cos(\widehat{BAM})=\dfrac{AM}{AB} \\ \Longleftrightarrow AM = \cos(\widehat{BAM}) \times AB\\ AM = \cos(60°) \times 6\\ AM = \dfrac{1}{2} \times 6 \\ AM = 3$
Donc : AM = 3 cm.

2. Déterminons $\widehat{BOM}$ :
Voir : 3., Partie A.

exercice 2

1. Montrons que le triangle ABC est rectangle en A :
On a : AB = 12, AC = 9 et BC = 15. Le plus long côté est [BC].
On a BC² = 15² = 225 et BA² + AC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
Donc BC² = BA² + AC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2. Calculons l'aire $B$ du triangle ABC :
$B = \dfrac{\text{base } \times \text{ hauteur }}{2}$ avec base = AC et hauteur = BA
$B = \dfrac{AC \times AB}{2} \\ B = \dfrac{9 \times 12}{2} \\ B = 54$
Donc : l'aire du triangle ABC $B$ = 54 cm².

3. Calculons le volume $V$ du prisme droit :
$V = B \times h$ avec $h$ = CF
$V = B \times CF \\ V = 54 \times 25 \\ V = 1350$
Donc : le volume du prisme droit $V$ = 1 350 cm³.

4. a)

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2008 - troisième : image 4

4. b) Calculons AN :
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB}\\ AN = \dfrac{AM}{AB} \times AC\\ AN = \dfrac{10}{12} \times 9 \\ AN = \dfrac{10 \times 9}{12} \\ AN = \dfrac{5 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 3} \\ AN = \dfrac{5 \times 3}{2} \\ AN = \dfrac{15}{2} \\ \boxed{AN = 7,5}$

Problème

Nombre de tickets achetés en un an	5	14
Prix à payer (en F avec la 1^ère formule	5 000	14 000
Prix à payer (en F) avec la 2^ème formule	6 000	12 300

2.
La fonction F₁ :
$F_1 : x \longmapsto 1000x$
La fonction F₂ :
$F_2 : x \longmapsto 700x+2500$

3. Déterminons le nombre de tickets qui s'achètent avec la deuxième formule :
$F_2(x) = 16 500 \\ 700 x + 2 500 = 16 500 \\ 700 x = 16 500 - 2500 \\ 700 x = 14 000 \\ x = \dfrac{14 000}{700} \\ x = 20$
On peut donc acheter : 20 tickets.

4. Déterminons le nombre de tickets de cinéma achetés :
Il a acheté : 1 + 8 + 20 + 12 + 14 = 55 tickets de cinéma durant 2 007 - 2 003 = 5 années.
Soit $\dfrac{55}{5} = 11$
Donc : il a acheté en moyenne 11 tickets par an.

5. Déterminons la formule la plus interessante pour Manutea pour 12 tickets :
Déterminons le prix total pour la 1^ère formule
Soit pour $x = 12$ , $F_1(12) = 1 000 \times 12 = 12 000$
Donc : Manutea payera au total 12 000F avec la 1^ère formule.
Déterminons le prix total pour la 2^ème formule
Soit pour $x = 12$ , $F_2(12) = 700 \times 12 + 2 500 = 10 900$
Donc : Manutea payera au total 10 900F avec la 2^ème formule.
Et donc : la meilleur formule pour Manutea sera la 2^ème.

Partie B

1. La fonction $f$ en bleu et la fonction $g$ en gris.

Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2008 - troisième : image 5

2. Déterminons le prix de 15 tickets avec la 1^ère formule grâce au graphique :
On trouve un prix de 15 000 F.

3. Déterminons le nombre maximal de ticket pour 12 000 avec la 2^ème formule :
Graphiquement, on trouve entre 13 et 14.
Donc : on peut acheter au maximum 13 tickets avec la 2^ème formule.

4. Déterminons le nombre de tickets à partir duquel la 2^ème formule devient plus rentable :
Graphiquement, les deux droites se croisent pour $x$ entre 8 et 9.
A partir de cette valeur, la droite correspondant à la 2^ème formule est en-dessous de la droite correspondant à la 1^ère formule.
Donc : la 2^ème formule est plus avantageuse on achetant au moins 9 tickets dans l'année.

Publié par TP/Groy le 22-07-2009

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