Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Amérique du Sud - Novembre 2009

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Recopier et compléter le tableau colonne par colonne (x est un nombre positif) :
x9  
x^2 16 
\sqrt{x}  5





exercice 2

On considère la fraction \dfrac{190}{114}.

1. Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible,

2. Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés),

3. En déduire la forme irréductible de la fraction \dfrac{190}{114}.




exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.).
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact.
Chaque réponse exacte donne 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.
 Réponse ARéponse BRéponse C
\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{5}\dfrac{10}{7}\dfrac{10}{10}\dfrac{29}{10}
\dfrac{10^5}{10^2}10310710-3
\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} : \dfrac{1}{4}\dfrac{1}{12}- \dfrac{26}{3}- \dfrac{20}{3}
\left(10^5 \right)^21071031010





exercice 4

On donne A = (x - 5)^2 et B = x^2 - 10x + 25.

1. Calculer A et B pour x = 5.

2. Calculer A et B pour x = -1.

3. Peut-on affirmer que A = B quelque soit la valeur de x ? Justifier.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50 m.
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 1

S : position de Simon
C : position du cerf-volant
SC = 50m

1. La ficelle fait avec l'horizontale un angle \widehat{\text{CSH}} qui mesure 80 °.
Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c'est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre).

2. Lorsque la ficelle fait avec l'horizontale un angle de 40 °, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1. ? Justifier la réponse.





exercice 2

Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 2
Le cube représenté ci-contre est un cube d'arête 6 cm.
(la figure n'est pas aux dimensions réelles)
On considère :
le point M milieu de l'arête [BB'],
le point N milieu de l'arête [CC'],
le point P milieu de l'arête [DC],
le point R milieu de l'arête [AB].

1. Quelle est la nature du triangle BRM ?
Construire ce triangle en vraie grandeur.
Calculer la valeur exacte de RM.

2. On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l'arête [BC].
La section est le quadrilatère RMNP.
Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur.
Donner ses dimensions exactes.

3. Calculer l'aire du triangle RBM.
Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC].


12 points

Problème

Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1

OABC est un carré de côté 7 cm.
0, A et E sont alignés et AE = 2 cm.

1. Calculer l'aire du carré OABC.

2. Calculer \tan \widehat{\text{OEC}}. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{OEC}}, arrondie au degré.

3. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\text{ECB}} ? Justifier.

Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1 :

1. Compléter la figure donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie) en effectuant le programme de construction suivant :
    a) construire avec soin la droite parallèle à la droite (CE) passant par A ; cette droite coupe le segment [OC] en M. Placer M.
    b) construire le rectangle OMNE.

2. a) Prouver que \dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}.
    b) Calculer la valeur exacte de OM.
    c) Montrer que l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC.

Troisième partie : Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré :

On utilisera la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) :
OABC est maintenant un carré de côté 5 cm ; O, A et E sont alignés ; AE = 5 cm.
Construire le rectangle OMNE de même aire que le carré OABC, avec M appartenant au segment [OC].

ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE

Annexe 1
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 3


Annexe 2
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 4




Activités numériques

exercice 1

On a le tableau suivant :
\begin{tabular}{|p{5mm}cp{5mm}|c|c|c|}\hline &\math x   & & 9 & \bf 4 & \bf 25\\\hline &\math x^2 & & \bf 81 & 16 & \bf 625\\\hline &\math \sqrt{x} & & \bf 3 & \bf 2& 5\\\hline\end{tabular}


En effet :
si x=9 : alors x^2 = 9^2 = 81. De plus, \sqrt{x}=\sqrt{9}=3 ;
si x^2=16 : alors comme x>0, x=\sqrt{16}=4, et de plus \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 ;
si \sqrt{x}=5 : alors x=\sqrt{x}^2=5^2=25 et x^2=25^2=625.




exercice 2

1. Le numérateur de la fraction, 190, se termine par 0, donc est un multiple de 2.
De même, le dénominateur de la fraction, 114, se termine par 4, donc est un multiple de 2.
Ainsi, 190 et 114 ne sont pas premiers entre eux : la fraction n'est pas irréductible.

2. On peut par exemple appliquer l'algorithme d'Euclide, en effectuant des divisions euclidiennes successives.
\displaystyle 190=1\times114+76\\ 114=1\times76+{\color{red} \fbox{38}}\\ 76=2\times38+0
Le PGCD étant le dernier reste non nul, on a finalement : \fbox{{\rm pgcd}(190;114)=38}.

3. \displaystyle\frac{190}{114}=\frac{5\times\cancel{38}}{3\times\cancel{38}}=\fbox{\displaystyle\frac{5}{3}}.




exercice 3

1. \fbox{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{7}{5}=\frac{29}{10}}

En effet : \displaystyle \frac{3}{2}+\frac{7}{5}=\frac{3\times5}{2\times5}+\frac{7\times2}{5\times2}=\frac{15+14}{10}=\frac{29}{10}

2. \fbox{\displaystyle\frac{10^5}{10^2}=10^3}

En effet : \displaystyle \frac{10^5}{10^2}=10^{5-2}=10^3.

3. \fbox{\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{7}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{-26}{3}}

En effet : \displaystyle\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\times4=\frac{2}{3}-\frac{28}{3}=\frac{-26}{3}

4. \fbox{\displaystyle \left(10^5\right)^2=10^{10}}

En effet : \displaystyle \left(10^5\right)^2=10^{5\times2}=10^{10}.




exercice 4

1. Il s'agit de remplacer x par sa valeur (ici 5) dans les expressions données.
A=(x-5)^2=(5-5)^2=\fbox{0}
B=x^2-10x+25=5^2-10\times5+25=25-50+25=\fbox{0}

2. Idem, sauf qu'ici il faut remplacer x par -1...
A=(x-5)^2=(-6)^2=\fbox{36}
B=x^2-10x+25=(-1)^2-10\times(-1)+25=1+10+25=\fbox{36}

3. Pour se convaincre, on développe l'expression de A en reconnaissant une identité remarquable.
A = (x-5)^2=x^2-2\times5\times x+5^2 = x^2-10x+25=B

On peut donc affirmer que A=B quelque soit la valeur de x.



Activités géométriques

exercice 1

1. D'après le codage de la figure, le triangle SCH est rectangle en H.
On peut donc écrire la relation : \sin\left(\widehat{CSH}\right)=\dfrac{CH}{SC}.

D'où finalement : CH=\sin\left(\widehat{CSH}\right)\times SC=49,2... soit 49 m environ (arrondi au mètre).

2. Un raisonnement analogue à celui effectué à la question précédente donne :
CH=CH=\sin\left(\widehat{CSH}\right)\times SC=32,1... soit 32 m environ.

Or, 32 \neq 49/2 : la distance CH n'a pas diminué de moitié lorsque l'angle a diminué de moitié.




exercice 2

1. Les point M et R étant respectivement les milieux de [BB'] et [AB], où BB'=AB (car AA'B'B est un cube).
Autrement dit, le triangle BRM est isocèle.
Il est de plus rectangle, l'angle \widehat{ABB'} étant un angle droit (par propriétés du cube).
Le triangle BRM est donc rectangle isocèle en B.

Remarque : Le fait que le triangle soit rectangle assure par ailleurs que le triangle ne peut pas être « plus » qu'isocèle (notamment équilatéral), en effet, dans un triangle équilatéral, tous les angles du triangle sont égaux à 60°.

D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle :
RM^2=BR^2+BM^2\\ RM^2=2\times\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\ RM^2=2\times3^2\\ RM^2=18\\ RM=\sqrt{18}\quad{\rm car}\,RM\,{\rm positif}\\ \fbox{\math RM=3\sqrt{2}\,{\rm cm}}.

2. La section d'un cube par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle, d'où RMNP est un rectangle.
Sa longueur est la hauteur du cube, soit 6 cm, et sa largeur la longueur RM=3\sqrt{2}\simeq4,24\,{\rm cm}.

3. L'aire du triangle RBM est : \mathcal{A}_1=\frac{BR\times BM}{2}=\frac{9}{2}=4,5 soit 4,5 cm2.
Le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC] est alors : \mathcal{V}=\mathcal{A}_1\times BC=\frac{9}{2}\times6=27 soit 27 cm3.



Problème

Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1

1. OABC est un carré de côté 7 cm, donc son aire est \mathcal{A}=7^2=49 soit 49 cm2.

2. Dans le triangle OEC rectangle en O, on a : \displaystyle \tan\left(\widehat{OEC}\right)=\frac{OC}{OE}=\frac{7}{7+2}=\fbox{\displaystyle\frac{7}{9}}.
On en déduit alors \widehat{OEC}=37,8\dots^\circ soit environ 38° (arrondi au degré).

3. Le quadrilatère OABC étant un carré, c'est en particulier un parallélogramme.
Donc les droites (OA) et (BC) sont donc parallèles.
Ainsi, les angles alternes-internes \widehat{OEC} et \widehat{ECB} sont égaux.
Finalement : \fbox{\displaystyle \widehat{ECB}\simeq 38^\circ}.

Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1

1. On a la figure suivante :
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 5

2. a) Les points O, M, C et O, A, E sont respectivement alignés dans cet ordre.
De plus, par construction, les droites (AM) et (EC) sont parallèles.
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on a: \displaystyle\fbox{\displaystyle\frac{OM}{OC}=\frac{OA}{OE}}=\frac{AM}{EC}.

    b) D'après l'égalité établie à la question précédente, on a :
\displaystyle OM=\frac{OA\times OC}{OE}=\frac{7\times7}{9}=\fbox{\displaystyle\frac{49}{9}\,{\rm cm}}

    c) On a : \mathcal{A}(OMNE)=OE\times OM=9\times\frac{49}{9}=49 soit 49 cm2.
Or, d'après le résultat de la question 1. de la partie précédente, \mathcal{A}(OABC)=49\,{\rm cm}^2 également.
Donc l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC.

Troisième partie : Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

D'après les mesures données dans l'énoncé, A est le milieu du segment [OE].
Autrement dit, le rectangle OMNE possède un côté deux fois plus grand que le côté du carré OABC.
Or, ces deux quadrilatères ont même aire, donc nécessairement la largeur du rectangle doit être deux fois plus petite que l'aire du carré.
Autrement dit, M doit être le milieu du segment [OC].

On obtient la figure suivante :
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2009 - troisième : image 6

Remarque : On peut également s'en convaincre numériquement en calculant l'aire du carré OABC (ici, 25 cm2), puis en exprimant l'aire du rectangle OMNE en fonction de OM pour en déduire la position du point M. On trouve (évidemment) le même résultat !
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