DNB Métropole 2014

exercice 1

1.

2. Montrons que les points D, O et H sont alignés :
ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O, donc
On a donc :
Donc les points D, O et H sont alignés. Le segment [DH] est un diamètre du cercle.
On sait que le point A appartient au cercle de diamètre [DH].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle DAH est rectangle en H.

3. On a :
L'angle au centre et l'angle inscrit interceptent le même arc de cercle .
Donc :
D'où :

exercice 2

Soit le prix d'un cahier.

1. Dans les magasins A et B, Léa devra dépenser euros pour l'achat d'un cahier.
Dans le magasin C, elle bénéficie de 30 % de réduction sur le cahier. Elle le paiera :

2. a)

Magasin	A	B	C
2 cahiers

Or, , donc si Léa veut acheter 2 cahiers, elle devra choisir le magasin C.

2. b)

Magasin	A	B	C
3 cahiers

Or, , donc si Léa veut acheter 3 cahiers, elle devra choisir le magasin A.

3. Un cahier après réduction coûte . Elle obtient une réduction supplémentaire de 10 % :
Or, 1 - 0,63 = 0,37, donc la réduction totale est de 37 %.

exercice 3

1. Si on choisit 8 comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : 8 - 6 = 2
- Soustraire 2 : 8 - 2 = 6
- Multiplier les deux nombres obtenus : 2 × 6 = 12
On obtient 12.

2. Proposition 1 : VRAIE
Si on choisit 5 comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : 5 - 6 = - 1
- Soustraire 2 : 5 - 2 = 3
- Multiplier les deux nombres obtenus : (-1) × 3 = -3
Donc : Le programme peut donner un résultat négatif. La proposition 1 est vraie.

Proposition 2 : VRAIE
Si on choisit comme nombre de départ :
- Soustraire 6 :
- Soustraire 2 :
- Multiplier les deux nombres obtenus :

Proposition 3 : VRAIE
Si on choisit x comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : x - 6
- Soustraire 2 : x - 2
- Multiplier les deux nombres obtenus : (x - 6)(x - 2)
Le programme donne 0, on a donc : (x - 6)(x - 2) = 0
Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.
ou
Le programme donne 0 pour exactement deux nombres : 2 et 6. La proposition 3 est donc VRAIE.

Proposition 4 : FAUSSE
On a :
La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme n'est pas une fonction linéaire. La proposition 4 est fausse.

exercice 4

1. a) La couleur la plus présente dans le sac est jaune.

1. b) La formule saisie dans la cellule C2 est : =B2/A2

2. On a :
Il y a donc 4 jetons rouges dans le sac.

exercice 5

1. Réponse d) 8
car : Quand on double le rayon d'une boule, son volume est multiplié par : 2³ = 8

2. Réponse a) 10 m.s^-1
car :

3. Réponse c)
car :

4. Réponse a) 25 dossiers
car : 1,5 To = 1,5 × 10¹² octets     et     60 Go = 60 × 10⁹ octets

Le nombre de dossiers obtenus est égal à 25.

exercice 6

1. Le point appartient au segment , donc : .
On a donc :
Les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014.

2. Dans le triangle rectangle en , on a :

Donc
L'angle mesure environ 0,8° (valeur arrondie au dixième de degré).

3. On sait que les droites et sont toutes deux perpendiculaires à la droite .
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Donc les droites et sont parallèles.

Les droites et sont sécantes en . Les droites et sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :


De , on déduit :





D'où :
La distance d'éclairage des feux est d'environ 46 m (valeur arrondie au mètre).

exercice 7

1. On commence par calculer le volume de la botte :
En utilisant l'information 3, on trouve la masse de la botte :
Le prix est alors :

2.a) Pour savoir le nombre de bottes nécessaire, il faut connaître l'aire de la surface grisée :
Sachant que l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur, et que la longueur , il faut juste trouver la largeur

D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en , on a :
De plus, on a : et
Donc,
On en déduit que :
L'aire de la partie grisée est donc :
L'aire de la base d'une botte est :
Le nombre de bottes nécessaire est donc :

2.b) D'après 1. , le prix d'une botte est
Donc le prix nécessaire pour isoler le toit est :