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Sujet et correction du Brevet 2016 de Pondichery - Maths

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exercice 1

La distance séparant la sortie 11 de la sortie 3 est égale à 16+16+6+13 = 51 km ;
Mélanie doit parcourir cette distance en 24 min.
Or $24 min = \frac{24}{60}h=\frac{4}{10}h=0,4h$
On déduit que sa vitesse moyenne est égale à $v=\frac{51}{0,4}=127,5 km/h$

Commentaires :
Cet exercice :
Nécessite la connaissance de la définition de la vitesse moyenne
Fait appel aux compétences de compréhension et de bonne utilisation des données
Il fallait penser et savoir convertir des minutes en heure décimale

exercice 2

1. Les catégories d'exploitations qui ont vu leur nombre augmenter entre 2000 et 2010 sont celles comprises entre 100 et 200 ha ainsi que celles supérieures à 200 ha.
2. En B8, on entre la formule = SOMME(B3:B7)
3. En C8, on obtient le nombre 515
4. Pourcentage d'augmentation = $\frac{21-15}{15}\times 100 = \frac{6}{15}\times 100 = 40$
Donc la proposition est VRAIE

Commentaires :
Cet exercice :
Nécessite la connaissance et l'utilisation du tableur
Fait appel aux compétences relatives sur la proportionnalité et notamment sur le calcul de pourcentages, en particulier, le calcul d'un pourcentage d'augmentation.
Il ne fallait pas oublier le signe « = » devant la formule « = SOMME(B3:B7) »

exercice 3

1. Il faudra $50\times10=500$ bonbons au chocolat et $50\times 8=400$ bonbons au caramel.
2. P(obtenir un bonbon au chocolat)= $\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$
3. Si le 1er bonbon choisi est au caramel alors il reste 10 bonbons au chocolat et 7 bonbons au caramel

Si le 1er bonbon choisi est au chocolat alors il reste 9 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel.
Ainsi, dans les deux cas, il reste davantage de bonbons au chocolat que de bonbons au caramel donc il est en effet plus probable de prendre au hasard un deuxième bonbon au chocolat plutôt qu'un bonbon au caramel.

4. a) NON, le confiseur ne peut plus composer des boîtes contenant 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel car 10 n'est pas un diviseur de 473.

b) Soit N le nombre maximal de boîtes que le confiseur peut faire.
Soit C le nombre de bonbons au chocolat dans chaque boîte et K le nombre de bobons au caramel dans chaque boite.
On a alors $N\times C = 473 \text{ et } N \times K = 387$
Donc N est un diviseur commun à 473 et 387.
Or N est maximal donc N = PGCD(473;387).

Calcul du PGCD(473;387) par l'algorithme d'Euclide.

$473+387+86 \\ 387=4\times 86 +43 \\ 86=43 \times 2 +0$

Or le PGCD(473;387) est le dernier reste non nul obtenu dans l'algorithme d'Euclide
Donc PGCD(473;387) = 43.
Ainsi, le confiseur pourra faire 43 boîtes identiques composées de $C=\frac{473}{43}=11$ bonbons au chocolat et $K=\frac{387}{43}=9$ bonbons au caramel.

Commentaires :
Cet exercice :
Fait appel à la connaissance de diviseurs et du PGCD
Il n'y a pas de difficulté majeure dans cet exercice exceptée la question 3. Déconcertante.

exercice 4

1. Notons d la distance totale du parcours
d = AB +BC + CD + DE + EF
d = 6 + BC + CD + DE + 0,75

Calcul de BC
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC² = AB² + BC²
7,5² = 6² + BC²
BC² = 7,5² - 6² = 56,25 - 36 = 20,25
BC = 4,5 km

Calcul de CD
C appartient à [BD] et D appartient à [CG] donc BC + CD + DG = BG
Or ABGF est un rectangle donc BG = AF = 12,5 km donc
BC + CD + DG + 12,5
4,5 + CD + 7 + 12,5
11,5 + CD + 12,5
CD + 1 km

Calcul de DE

Dans le triangle GCF,
D appartient à [GC]
E appartient à [GF]
(DE) parallèle à (CF)

D'après le théorème de Thalès on a $\frac{GD}{GC}=\frac{GE}{GF}=\frac{DE}{CF}$ donc $\frac{7}{(7+1)} = \frac{DE}{10}$

donc $DE = \frac{7\times 10}{8}=\frac{70}{8}=8,75km$

Conclusion : d = 6+4,5+1+8,75+0,75 = 21 km

2. L'hélicoptère consomme 1,1L par km donc il nécessitera $1,1 \times 21 = 23,1 > 21$ litres pour parcourir la distance d donc l'inspecteur a tort.

Commentaires :
Cet exercice :
Mobilise diverses compétences mathématiques notamment géométriques (Pythagore, Thalès.)
La mise en oeuvre d'une démarche scientifique.

exercice 5

1. FAUX car : en développant l'expression donnée, on obtient
$h(t)=-5t^2+18,5t-1,35t+4,995$
$h(t)=-5t^2+17,15t+4,995$ et cette quantité n'est pas égale a priori à $-5t^2-19,85t-4,995$

Pour le démontrer simplement, il suffit de prendre un contre-exemple :
pour t = 0 on a $h(0)=(-1,35)\times(-3,7)=4,995 \neq -4,995$

2. FAUX car $h(0)=4,995 \neq 3,8$ (le tout exprimé en mètres)

3. VRAI car $h(t)=0$ signifie que $(-5t-1,35)(t-3,7)=0$
Or $(-5t-1,35)(t-3,7)=0$ lorsque $(-5t-1,35)=0$ ou $(t-3,7)=0$

c'est à dire $t=\frac{-1,35}{5}<0$ (or un temps ne peut pas être négatif, donc valeur qui ne convient pas) ou $t=3,7<4$

ou bien

d'après le graphique, h(t) = 0 pour t compris entre 3 et 4.

4. VRAI car $h(3,5)=(-5\times 3,5-1,35)(3,5-3,7)=3,77$

5. FAUX car d'après le graphique, la valeur maximale atteinte par h(t) est obtenue pour $t$ compris entre 1,5 et 2 secondes.

Commentaires :
Cet exercice :
Permet d'évaluer les compétences de l'élève à choisir la « bonne » ou plus exactement la plus « pertinente » expression ou démarche permettant de justifier une proposition.
Fait appel aux compétences de lecture graphique (lecture d'un maximum, d'antécédents de 0) et calculatoires (développer, calculer des images, résoudre une équation produit?)
Ici aussi, nombre de données dans l'énoncé peuvent « perdre » ou « déstabiliser » l'élève dans sa démarche. Ce dernier doit mettre en oeuvre une démarche scientifique afin de répondre correctement aux questions posées même si ces dernières peuvent être justifiées de différentes manières.

exercice 6

1. Calcul des % de remise

1/ % de remise= $\frac{(120-105)}{120}\times 100 = 12,5$
2/ % de remise = 30 %
3/ % de remise = $\frac{12,5}{50}\times 100=50$

Conclusion : le plus fort % de remise est égal à 50 % et correspond à la situation 3/

2. NON, la plus forte remise en euros ne correspond pas au plus fort pourcentage de remise.
En effet, la plus forte remise en euros, égale à 15 Euros, obtenu à la situation 1/, correspond au pourcentage de remise le plus faible, égal à 12,5 %.

Commentaires :
Cet exercice :
Fait appel aux compétences de calculs de pourcentages.
Il n'y a pas de difficulté majeure.

exercice 7

1. B 2. C 3. B

Commentaires :
Justifications des bonnes réponses (non demandées)
1. $(2x-3)^2=(2x)^2-2\times (2x)\times 3+3^2=4x^2-12x+9$
Ce calcul utilise une identité remarquable (une double distributivité est aussi possible)
L'erreur classique est de considérer $2x^2$ et non pas $(2x)^2$
2. $(x+1)(2x-5)=0$ signifie que $(x+1)=0 \text{ ou } (2x-5)=0$

$x=-1 \text{ ou } x=\frac{5}{2}$

Cette équation est dite « équation produit-nul » et utilise la propriété : « un produit est nul lorsqu'au moins un de ses facteurs est nul ».

3. si a>0 alors $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
Ici, in s'agissait de ne pas confondre l'addition et la multiplication notamment, à savoir : si a>0, $\sqrt{q}\times \sqrt{a}=a$

exercice 8

1. L'escalier est composé de la superposition des deux prismes de volume respectifs notés V₁ et V₂.
On déduit que le volume total de l'escalier noté V, est égal à V=V₁+V₂

Calcul de V₁

$V_1=\frac{(3,4\times 3,2)}{2}\times 0,2=1,088m^3$

Calcul de V₂

$V_2=\frac{(1,36\times 1,28)}{2}\times 0,2=0,17408m^2$

$V=V_1+V_2=1,26208m^3$

Commentaires :
Cette question :
Est uniquement calculatoire en utilisant le rappel du volume d'un prisme.
Le fait que la base des deux prismes soit un triangle rectangle facilite la tâche de l'exercice.
Il n'y a pas de difficulté majeure.

2. V=1,26208m³ = 1262,08dm³ = 1262,08L
Or un sac de béton courant permet d'obtenir 100L de béton.
On déduit donc qu'il faudra 13 sacs de béton courant pour réaliser l'escalier.

Commentaires :
Cette question :
Est à nouveau relative à un calcul de proportionnalité
Fait appel à la compétence d'utilisation des « bonnes » données pour répondre à la question posée (ici reconnaître l'indication « béton courant »).
3. Pour obtenir 100 L de béton courant, il faut 17L d'eau donc pour obtenir 1262,08 L de béton courant, il faut 214,55 L d'eau.

Commentaires :
Cette question :
Fait à nouveau appel à la proportionnalité avec l'erreur de considérer les sacs de ciment nécessaires au lieu du nombre de litres de béton courant obtenus.

Publié par Prof digiSchool le 13-02-2019

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