Fiche de mathématiques

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DNB 2026 - Sujet 0 - Epreuve A

Partie 1 : Automatismes - 6 points

Question 1 :  Quel est le tiers de 18 ?

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 13\times 18=18:3=6 }$
Donc le tiers de 18 est 6.

Question 2 :  Un film dure 240 minutes. Quelle est sa durée en heures ?

1 heure comprend 60 minutes.
Le nombre d'heures est proportionnel au nombre de minutes.

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{240}{60}=4.$
Il y a ainsi 4 fois 60 minutes dans 240 minutes.
Donc un film de 240 minutes dure 4 heures.

Question 3 :  Les notes obtenues par un élève sont : 8 ; 12 ; 6 ; 19 ; 15.
Que vaut la médiane de cette série de notes ?

Classons les 5 notes par ordre croissant.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { 6\;;\;8\;;\;\,{\red{12}}\;;\;15\;;\;19. }$
La série comporte un nombre impair de termes.
Dans ce cas, la médiane est l'élément "du milieu", soit $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{12}} }$ , car deux données sont inférieures à 12 et deux données sont supérieures à 12.

Donc la médiane de cette série de notes est 12.

Question 4 :

Sur cette droite graduée, l'unité est divisée en 4 parties repérées par des petits traits gras.
Entre deux traits consécutifs, nous avons donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 14 }$ d'unité.

Dès lors, l'abscisse du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 74 }$ .

Question 5 : Dans le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ , rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ , on sait que $\overset{ { \white{ } } } {\widehat A=35^\circ }$ .
Nous devons calculer $\overset{ { \white{ } } } { \widehat C }$ .

Nous savons que si le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ , alors les angles $\underset{ { \white{ } } } { \widehat A }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \widehat C }$ sont complémentaires.
Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\widehat A+\widehat C=90^\circ\quad\Longleftrightarrow\quad 35^\circ+\widehat C=90^\circ \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat A+\widehat C=90^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad \widehat C=90^\circ-35^\circ} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat A+\widehat C=90^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\widehat C=55^\circ}}$

Question 6 : Dans le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ , rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ , quel calcul doit-on effectuer pour déterminer le cosinus de l'angle $\overset{ { \white{ } } } {\widehat{ABC} }$ ?

${ \white{ xxi } }$ $\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}}$

Question 7 : Sur la figure ci-dessous, dans le triangle $\overset{ { \white{ } } } { ADE }$ , les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (DE) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (CB) }$ sont parallèles.
Nous devons déterminer la longueur $\overset{ { \white{ } } } {AD }$ .

Nous sommes dans une configuration de Thalès car les triangles $\overset{ { \white{ _. } } } { ACB }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { ADE }$ sont emboîtés avec le sommet A commun. De plus, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (CB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (DE) }$ sont parallèles.

En appliquant le théorème de Thalès, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CB}{DE} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{4}{AD}=\dfrac{2}{7} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\times AD=4\times 7 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}}\quad\Longleftrightarrow\quad AD=2\times 7 } \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{AD=14}$

Question 8 : Dans un collège, 25% des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.
Combien d'élèves ne participent pas à cette olympiade ?

Si 25% des 300 élèves participent à cette olympiade, cela signifie que 75% des 300 élèves ne participent pas à cette olympiade.

${ \white{ xxi } }$ $75\%\text{ de }300=\dfrac{75}{100}\times300 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{75\%\text{ de }300}=75\times3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{75\%\text{ de }300}=225}$

Par conséquent, 225 élèves ne participent pas à cette olympiade.

Question 9 : Une élève souhaite réaliser un programme avec un logiciel de programmation pour dessiner un carré.
Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 pour obtenir un carré ?

La ligne 3 sera complétée par le nombre 4 (pour définir 4 côtés à ce carré)
La ligne 5 sera complétée par le nombre 90 (pour définir les angles droits de ce carré)

Ci-dessus le programme dans lequel les lignes 3 et 5 ont été complétées pour obtenir un carré.

Partie 2 : Raisonnement et résolution de problèmes - 14 points

3 points

exercice 1

1. La première enquête porte sur le gaspillage alimentaire à la cantine.
Pendant sept semaines, on relève la masse totale, en kilogramme, d'aliments jetés chaque semaine :

${ \white{ xxxx } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|} \hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \text{Semaine} & &1& && 2& & &3& & &4& & &5& & &6& & &7& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\text{Masse (kg) } & &62& && 59&& & 74& && 68& & &55& && 61& & &71& \\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Ce collège s'est donné comme objectif que la moyenne, par semaine, de déchets alimentaires sur les 7 semaines ne dépasse pas 65 kg.
Nous devons montrer que ce collège a atteint son objectif.

La masse moyenne, par semaine, de déchets alimentaires sur les 7 semaines est égale à :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{62+59+74+68+55+61+71}{7}=\dfrac{450}{7}\approx64,3.$

Puisque cette masse moyenne est inférieure à 65kg, l'objectif du collège est atteint.

2. La seconde enquête porte sur les déplacements des élèves à vélo entre le domicile et le collège.
Le diagramme ci-dessous représente, pour chaque distance, l'effectif des élèves qui parcourent cette distance en vélo pour aller au collège. (Les élèves qui n'utilisent pas le vélo pour se rendre au collège parcourent 0 km à vélo.)

2. a) Nous devons déterminer l'effectif total des élèves de ce collège.

Additionnons les valeurs lues en ordonnées sur le graphique.

${ \white{ xxi } }$ $33+32+42+31+35+27+23+21+13=257$

D'où l'effectif total des élèves de ce collège s'élève à 257 élèves.

2. b) Pour ce collège, nous devons déterminer si l'affirmation '' Plus de 30 % des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo pour se rendre au collège '' est vraie ou non.

Additionnons les effectifs des élèves dont la distance parcourue à vélo est supérieure ou égale à 5km.

${ \white{ xxi } }$ $27+23+21+13=84$

Nous en déduisons que 84 élèves sur 257 élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo pour se rendre au collège.

Calculons le pourcentage correspondant.

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{84}{257}\times 100\approx32,7\%$

Puisque 32,7% est supérieur à 30%, l'affirmation est vraie.

3 points

exercice 2

On donne un programme de calcul :

1. Lorsque le nombre choisi est 4, vérifions que le programme affiche 55, en précisant chacune des étapes de calcul.

2. On appelle $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ le nombre choisi au départ.

2. a) Nous devons écrire, en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ , le résultat obtenu par le programme.

Le résultat obtenu est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{{{\red{4x^2-9}}}} }$

2. b) Transformons l'expression obtenue par le programme de la question précédente.

Rappelons que pour tous réels $\overset{ { \white{ _. } } } { a,b:\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b) }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $4x^2-9=(2x)^2-3^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4x^2-9}=(2x-3)(2x+3)}$
Donc l'expression correcte est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{C=(2x-3)(2x+3)} }$

3 points

exercice 3

On considère les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ suivantes :

$f:x\mapsto 4x+3\\g:x\mapsto 6x$

1. Parmi ces deux fonctions, déterminons laquelle représente une situation de proportionnalité.

Une situation de proportionnalité se représente par une fonction linéaire de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto ax\quad\text{où}\; a\in\R }$ .
Donc parmi ces deux fonctions, une situation de proportionnalité est représenté par la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g} }$ .

2. Nous devons calculer l'image de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ , soit la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(0) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $g(0)=6\times 0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(0)=0}$

Par conséquent, l'image de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ est 0.

3. Nous devons déterminer l'antécédent de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Un antécédent de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est la valeur de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ .
Résolvons donc l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=-3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=-\dfrac 34}}$

D'où l'antécédent de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{-\dfrac 34} }$

Leurs représentations graphiques $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2) }$ sont tracées ci-dessous :

4. Nous devons associer à chaque droite la fonction qu'elle représente.

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1) }$ représente la fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ car le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(0\;;\;0\right) }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1) }$ .
La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2) }$ représente la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ car le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(-\dfrac 34\;;\;0\right) }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2) }$ .

5. Nous devons déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2) }$ .

Graphiquement, nous observons que les coordonnées du point d'intersection des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2) }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(1,5\;;\;9)} }$

3 points

exercice 4

Sur la figure ci-dessous :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un carré de 9 cm;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ les segments de même longueur sont codés.

1. a) Le polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ est-il régulier c'est-à-dire a-t-il tous ses côtés de même longueur ?

Nous savons que dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Dès lors, dans le triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } { PAI }$ , nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { PI>AI }$
Or par construction, $\overset{ { \white{ _. } } } { AI=IJ }$ .

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} PI>{\red{AI}}\\ {\red{AI}}=IJ \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{PI>IJ} }$

Donc au moins deux cotés $\overset{ { \white{ . } } } { [PI] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [IJ] }$ du polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ n'ont pas la même longueur.
Par conséquent, le polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ n'est pas régulier.

1. b) Nous devons justifier que l'aire de la surface $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ colorée sur la figure ci-dessus est égale à 63 cm².

Les triangles rectangles $\overset{ { \white{ _. } } } { PAI, JBK, LCM }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { NDO }$ sont isométriques car tous les côtés des angles droits de ces triangles mesurent 3 cm.

Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Aire}_{IJKLMNOP}=\text{Aire}_{ABCD}-4\times\text{Aire}_{PAI} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Aire}_{ABCD}=9^2=81 }$
et $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Aire}_{PAI}=\dfrac12\times AP\times AI = \dfrac 12\times3\times3=\dfrac{9}{2} }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\text{Aire}_{IJKLMNOP}=\text{Aire}_{ABCD}-4\times\text{Aire}_{PAI} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{IJKLMNOP}}=81-4\times\dfrac 92} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{IJKLMNOP}}=81-18} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{IJKLMNOP}}=63}$

Par conséquent, l'aire de la surface $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ est égale à 63 cm².

2. Les diagonales du carré $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ se coupent en $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ .
On a tracé le cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et de diamètre 9 cm.

2. a) Déterminons l'aire du disque de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et de diamètre 9 cm.

Puisque le diamètre du cercle mesure 9 cm, le rayon de ce cercle mesure 4,5 cm.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\text{Aire}_{\text{disque}}=\pi\times \text{R}^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{\text{disque}}}=\pi\times4,5^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{\text{disque}}}=\pi\times20,25 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire}_{\text{disque}}}=20,25\pi}$

D'où l'aire du disque de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et de diamètre 9 cm est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 20,25\,\pi\;\text{cm}^2 }$ .

2. b) Nous devons montrer que la différence entre l'aire du polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ et l'aire du disque représente moins de 1% de l'aire du disque.

L'aire du disque est supérieure à l'aire du polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { IJKLMNOP }$ .
En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { 20,25\pi\text{ cm}^2\approx 63,62\text{ cm}^2\;{\red{>}}\;63\text{ cm}^2 }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{\text{Aire}_{\text{Disque}}-\text{Aire}_{\text{polygone}}}{\text{Aire}_{\text{Disque}}}=\dfrac{20,25\pi-63}{20,25\pi} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{Aire}_{\text{Disque}}-\text{Aire}_{\text{polygone}}}{\text{Aire}_{\text{Disque}}}}\approx0,00970\;{\red{<0,01}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{\text{Aire}_{\text{Disque}}-\text{Aire}_{\text{polygone}}}{\text{Aire}_{\text{Disque}}}<1\%}$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 27-12-2025

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