Fiche de mathématiques

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DNB 2025 Amérique du Nord

Mathématiques

Durée : 2 heures

20 points

exercice 1

20 points

exercice 2

20 points

exercice 3

20 points

exercice 4

20 points

exercice 5

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DNB 2025 Amérique du Nord

Mathématiques

20 points

exercice 1

$\bullet {\white w}$ Situation 1

On a 20 boules vertes sur un total de 40 boules, toutes indiscernables au toucher. On est en situation d'équiprobabilité.

La probabilité est égale à $P=\dfrac{20}{40}=\dfrac 12$ .

$\bullet {\white w}$ Situation 2

$1050=2\times 3\times 5^2\times 7$

$\bullet {\white w}$ Situation 3

Une augmentation de $14\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,14$ .

L'article après augmentation va donc coûter : $25\times 1,14=28,50$ euros.

$\bullet {\white w}$ Situation 4

Le coefficient d'agrandissement est de $2,5$ .

Les aires vont être multipliées par $2,5^2$ .

l'aire du polygone 2 est égale à : $7,5\times 2,5^2=46,875\text{ cm}^2$ .

$\bullet {\white w}$ Situation 5

a. La moyenne des tailles des élèves est égale à :

$\overline m = \dfrac{152\times 2+157\times 4+160\times 2+162\times 5+165\times 2+170\times 4+174\times 6+180\times 5}{2+4+2+5+2+4+6+5}=167,2$

b. L'effectif total est de $30$ élèves.

$30$ est un nombre pair. La médiane va être la moyenne entre la 15^e et la 16^e valeur. La 15^e valeur est 165, la 16^e valeur est 170.

La médiane est égale à : $m=\dfrac{165+170}{2}=167,5$ .

20 points

exercice 2

1. Le triangle ABC est rectangle au point B ; l'hypoténuse est donc $[AC].$

D'après le théorème de Pythagore, on a : $AC^2=AB^2+BC^2$ .

On en déduit : $AB^2=AC^2-BC^2$ soit $AB=50^2-30^2=2~500-900=1~600$

Une distance étant un nombre positif, on en déduit que : $AB=\sqrt{1~600}=40\text{ m.}$

2. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(EB)$ . Elles sont donc parallèles entre-elles, et $(DE) // (BC)$ .

3. Considérons les triangles $ADE$ et $ABC$ .

Les points $E, A, B$ d'une part et $D, A, C$ sont alignés dans le même ordre.

De plus $(DE) // (BC)$ .

D'après le théorème de Thalès, appliqué dans une configuration papillon, on a :

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$

On en déduit : $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$ soit $\dfrac{70}{50}=\dfrac{DE}{30}$ .

Faisons un produit en croix : $70\times 30=50\times DE$ soit en divisant les deux membres par $50$ ,

$DE=\dfrac{70\times 30}{50}=42\text{ m.}$

4. Calculons la longueur $EM$ dans le triangle $EMD.$

Le triangle $EMD$ est rectangle en $E$ . On connaît l'angle $\widehat M$ et la longueur opposée à cet angle.

Utilisons la tangente de l'angle $\widehat M$ .

$\tan \left(\widehat{EMD}\right)=\dfrac{DE}{EM}$ soit $\tan (60^\circ) =\dfrac{42}{EM}$ .

On en déduit : $EM=\dfrac{42}{\tan (60^°)}\approx 24,2\text{ m.}$

5. Calculons l'aire du triangle $AMD$ .

On ne connaît pas la longueur de la base $[AM]$ relative à la hauteur $[ED].$

Calculons la longueur $EA$ en reprenant les résultats de la question 3.

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$

On en déduit que : $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$ ce qui donne : $\dfrac{AE}{40}=\dfrac{70}{50}$ . Par un produit en croix, on obtient : $AE=\dfrac {40\times 70}{50}=\dfrac{2~800}{50}=56 \text{ m.}$

On sait que $EM\approx 24,2\text{ m.}$

Or : $AM=EA-EM\approx 56-24,2$ soit $AM\approx 31,8\text{ m.}$

L'aire du triangle $AMD$ est égale à : $\mathcal A=\dfrac{AM\times ED}{2}$ ; remplaçons :

$\mathcal A\approx \dfrac{31,8\times 42}{2}$ soit environ $667,8\text{ m}^2\,.$

20 points

exercice 3

On considère les deux programmes de calcul suivants :

1. On utilise le programme A. Le nombre choisi est $4$ . On le multiplie par $3$ , on trouve $12$ . On ajoute $15$ , on trouve $27$ ;

on divise le résultat par $3$ , on trouve $9$ et enfin, on soustrait le nombre départ qui était $4$ , on obtient $5$ .

2. On utilise à nouveau le programme A.

Le nombre choisi est maintenant $-2$ . On le multiplie par $3$ , on trouve $-6$ . On ajoute $15$ , on trouve $9$ ; on divise ce résultat par $3$ , on trouve $3$ et enfin on soustrait le nombre de départ qui était $-2$ , on obtient $3-(-2)=5$ .

3. Montrons que le programme A donne toujours le même résultat.

Pour cela, on appelle $x$ le nombre choisi au départ.

On mulitplie $x$ par $3$ , cela donne $x\times 3$ qui peut encore s'écrire $3x$ . Ajoutons $15$ , cela donne $3x+15$ .

Divisons par $3$ , cela donne $x+5$ .

Retranchons le nombre de départ qui était $x$ , cela donne $(x+5)-x=5$ .

Conclusion : le programme de calcul A donne toujours le même résultat qui est le nombre $5$ .

4. On utilise le programme B.

Le nombre choisi est $10$ . Si je soustrais $1$ , j'obtiens $9$ ; et si je soustrais $6$ au nombre de départ j'obtiens $4$ .

On multiplie ces deux résultats, cela donne : $9\times 4=36$ . On ajoute $5$ , cela donne $36+5=41$ .

5. Cherchons les nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent le même résultat.

Appelons $x$ les nombres cherchés.

${\white w}\checkmark {\white w}$ On sait que le programme A va donner pour résultat la valeur $\boxed{5}$ .

${\white w}\checkmark {\white w}$ Déterminons le résultat du programme B si le nombre donné au départ est également $x$ .

Si on soustrait $1$ au nombre $x$ , on obtient $x-1$ .

Si on soustrait le nombre $6$ au nombre $x$ , on obtient $x-6$ .

Multiplions ces deux quantités, cela donne : $(x-1)(x-6)$ .

Ajoutons $5$ , on obtient par le programme B : $\boxed{(x-1)(x-6)+5}$ .

${\white w}\checkmark {\white w}$ Les programmes A et B doivent donner le même résultat :

Pour cela : $(x-1)(x-6)+5=5$ ;

On retranche $5$ aux deux membres, on obtient $(x-1)(x-6)=0$ .

Un produit de facteurs est nul équivaut à dire que chacun des facteurs peut être nul.

$(x-1)(x-6)=0$ équivaut à dire $x-1=0$ ou $x-6=0$

Soit : $x=1$ ou $x=6$ .

Les deux programmes donnent le même résultat pour deux valeurs de départ qui sont $1$ et $6$ .

20 points

exercice 4

1. La représentation graphique de la distance par rapport au temps n'est pas une droite, donc le temps et la distance parcourue par Malo ne sont pas proportionnels.

2. A la lecture du graphique, la distance parcourue par Malo au bout de $20$ minutes est : $4,5\text{ km.}$

3. A la lecture du graphique, pour faire les 9 premiers kilomètres, Malo a mis $50$ minutes.

4. Malo a parcouru $13,5$ km en $80$ minutes.

$80$ minutes représentent $60+20$ minutes soit une heure pleine plus $\dfrac 13$ d'heure, soit au total $(1+\dfrac 13)$ h.

Sa vitesse moyenne est égale à : $v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{13,5}{1+\frac 13}=10,125$ km/h soit un peu plus de $10$ km/h.

5. Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de $13,5$ km. Louise a une vitesse régulière égale à $12$ km/h et Hillal a une vitesse régulière égale à $10$ km/h.

a. Comme elles sont parties en même temps et que Louise va plus vite, c'est Louise qui arrive en premier sur la ligne d'arrivée.

b. Le temps mis par Louise est : $t_1=\dfrac{13,5}{12}=1,125 \text{ h} .$

Le temps mis par Hillal est : $t_2=\dfrac{13,5}{10}=1,35\text{ h }.$

(soit Hillal va donc arriver : $1,35 \text{ h} -1,125 \text{ h}$ après Louise soit $0,225 \text{ h}$ après Louise.

Et en $0,225 \text{ h }$ Hillal va devoir parcourir : $d=v\times 0,225=2,25\text{ km .}$ 20 points

exercice 5

Partie 1 : les motifs

1. Script 1 : dessin 2

Script 2 : dessin 1

2. B - C - A

Attention aux valeurs des angles ! Après les $30$ premiers pas, le lutin doit tourner de $180-60$ soit $120^\circ$ pour se retrouver en position de "monter" sur le second côté du losange.

Partie 2 : le script principal

3. Le lutin démarre au point $(-200\,,\,0)$ .

4. Si le nombre aléatoire qui sort est 1 ou 2, le lutin va dire "perdu". La capture d'écran n° 3 est possible.

Si le nombre aléatoire qui sort est 3, on obtient la capture n° 2 (6 dessins identiques séparés de 60 pas).

5. Un seul nombre donne le bon résultat parmi 3 nombres possibles, la probabilité est donc de $\dfrac 13$ .

6. a. La fréquence d'apparition de l'affichage "Voici le dessin" est de : $\dfrac{40}{100}$ soit $0,4$ .

b. Le résultat est différent car une probabilité est une valeur théorique. Il faudrait lancer encore davantage le programme pour que la fréquence se rapproche davantage de la probabilité.

_{Merci à malou pour avoir élaboré cette fiche.}

Publié par malou le 08-06-2025

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