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DNB 2026 - Sujet 0 - Epreuve B

Partie 1 : Automatismes - 6 points

Question 1 :  Quelle est la mesure, en degrés, d'un angle droit ?

Un angle droit mesure 90°.

Question 2 :  Voici une série de quatre notes : 8, 10, 11, 11.
Quelle est la moyenne $\overset{ { \white{ _. } } } { \overline m }$ de cette série ?

${ \white{ xxi } }$ $\overline m=\dfrac{8+10+11+11}{4}=\dfrac{40}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overline m=10}$

Donc la moyenne de cette série est égale à 10.
La réponse correcte est la proposition B.

Question 3 :  Dans un collège de 800 élèves, 25 % des élèves portent des lunettes.
Nous devons déterminer combien d'élèves portent des lunettes.

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { 25\,\%=\dfrac{25}{10}=\dfrac 14 }$ .
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $25\,\%\text{ de }800=\dfrac 14\times 800 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{25\,\%\text{ de }800}=\dfrac {800}{4 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{25\,\%\text{ de }800}=200}$

Donc dans ce collège, 200 élèves portent des lunettes.

Question 4 :  Le graphique ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) en fonction de l'horaire (en heures).
Entre 8 h et 16 h, de combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?

Graphiquement, nous lisons qu'à 8 h, la température est de 15°C.
À 16 h, la température est de 30°C.
La différence, en °C, entre les deux températures est : 30 - 15 = 15.

Par conséquent, entre 8 h et 16 h, la température a augmenté de 15°C.
La réponse correcte est la proposition A.

Question 5 : Une voiture roule à 90 km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 45 km ?

La vitesse de la voiture est de 90 km/h.
Donc, si sa vitesse est constante, elle parcourt 90 km en 1 heure, soit 90 km en 60 minutes.
Dès lors, pour parcourir 45 km, il lui faudra 30 minutes.
La réponse correcte est la proposition B.

Question 6 : Nous devons donner le périmètre $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ du losange ci-dessous.

Les quatre côtés du losange ont la même longueur.
Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal P=4\times AD \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P}=4\times 3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P}=12 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal P=12}$

Par conséquent, le périmètre du losange $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est égal à 12 cm.

Question 7 : Pour résoudre l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 4x-3=20 }$ , on effectue le calcul : $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\dfrac{20+3}{4} }$

En effet, résolvons cette équation.

${ \white{ xxi } }$ $4x-3=20\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=20+3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4x-3=20}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{20+3}{4} }}$
La réponse correcte est la proposition D.

Question 8 : Sur la figure ci-dessous, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (DE) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ sont parallèles.
Nous devons écrire une égalité permettant de déterminer la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ .

Nous sommes dans une configuration de Thalès car les triangles $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { DBE }$ sont emboîtés avec le sommet B commun. De plus, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (DE) }$ sont parallèles.

En appliquant le théorème de Thalès, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{CB}{EB}=\dfrac{AC}{DE} }$ .
Les longueurs $\overset{ { \white{ _. } } } { DB,\, AC }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { DE }$ sont connues.
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{DE}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{AB}{3}=\dfrac{6}{4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\times AB=3\times 6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{AB=\dfrac{3\times 6 }{4} }}$

D'où grâce à la formule $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{DE} }$ , la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ peut ainsi être déterminée (la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ n'est pas demandée).

Question 9 : On considère l'algorithme suivant :

Quel résultat obtient-on si on choisit 1 comme nombre de départ ?

Nous avons la séquence suivante : $\overset{ { \white{ } } } { {\red{1}}\overset{\times 8}\longrightarrow {\red{8}}\overset{+10}\longrightarrow {\red{18}}\overset{\div 2}\longrightarrow {\red{9}} }$ .

Nous obtenons donc un résultat égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{9}} }$ .

Partie 2 : Raisonnement et résolution de problèmes - 14 points

3 points

exercice 1

Sur la figure ci-dessous, les points $\overset{ { \white{ . } } } { B,\,A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.
Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (BA) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (EC) }$ sont parallèles.

1. Nous devons rappeler la propriété de la somme des angles d'un triangle, puis calculer la mesure de l'angle $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{ACB} }$ repéré par la lettre $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ .

Propriété : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.

Appliquons cette propriété dans le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\widehat{ACB}+\widehat{CBA}+\widehat{BAC}=180^{\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad x+36+108=180 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{ACB}+\widehat{CBA}+\widehat{BAC}=180^{\circ}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=180-36-108 }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{ACB}+\widehat{CBA}+\widehat{BAC}=180^{\circ}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=36 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{ACB}=36^\circ}$

2. a) Que peut-on dire des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (EB) }$ ?

Nous savons que si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (EC) }$ sont parallèles.
La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (EB) }$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (EC) }$ .
Nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (EB) }$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

Donc les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (EB) }$ sont perpendiculaires.

2. b) Nous devons en déduire la mesure de l'angle $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{CBE} }$ repéré par la lettre $\overset{ { \white{ m. } } } { y }$ .

Nous avons montré dans la question 2. a) que $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{EBA}=90^\circ }$
Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\widehat{EBA}=90^\circ\quad\Longleftrightarrow\quad \widehat{CBE}+\widehat{CBA}=90^{\circ} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=90^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad y+36=90} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=90^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad y=90-36 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=90^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad y=54 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{CBE}=54^\circ}$

3. Nous devons déterminer la mesure de l'angle $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{ADC} }$ repéré par la lettre $\overset{ { \white{-. } } } { z. }$

Les points $\overset{ { \white{ . } } } { B,\,A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés et par suite, $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{BAD} = 180^\circ }$ .

$\widehat{BAD}=180^\circ\quad\Longleftrightarrow\quad \widehat{BAC}+\widehat{CAD}=180^{\circ} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=180^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad 108^\circ+\widehat{CAD}=180^\circ} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=180^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad \widehat{CAD}=180^\circ-108^\circ} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{EBA}=180^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\widehat{CAD}=72^\circ}}$

Or le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ADC }$ est isocèle car $\overset{ { \white{ _. } } } { AD=DC }$ .
Dès lors, $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{DCA}=\widehat{CAD}=72^\circ }$ .

Utilisons la propriété de la somme des angles d'un triangle.

${ \white{ xxi } }$ $\widehat{ADC}+\widehat{DCA}+\widehat{CAD}=180^\circ\quad\Longleftrightarrow\quad z+72+72=180 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{ADC}+\widehat{CAD}+\widehat{DCA}=180^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad z=180-72-72} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{ADC}+\widehat{CAD}+\widehat{DCA}=180^\circ}\quad\Longleftrightarrow\quad z=36} \\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{ADC}=36^\circ}$

2 points

exercice 2

Une urne contient 21 jetons numérotés de 1 à 21 indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.

1. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ l'événement '' obtenir 2, 3 ou 10 ''.
Nous devons calculer la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ .

Nous sommes en situation d'équiprobabilité car les jetons sont indiscernables.
L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ possède 3 issues favorables parmi les 21 issues possibles.

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A)=\dfrac{3}{21}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(A)=\dfrac 17} }$ .

2. a) On note $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ l'événement ''obtenir un jeton dont le numéro est un diviseur de 24''.
Nous devons donner les issues possibles de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

Citons les diviseurs positifs de 24 inférieurs à 21.
Ces diviseurs sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12.

2. b) Nous devons déterminer la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .
L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B}$ possède 7 issues favorables parmi les 21 issues possibles.

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { p(B)=\dfrac{7}{21}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(B)=\dfrac 13} }$ .

4,5 points

exercice 3

Un paquet de lessive vide pèse $\overset{ { \white{. } } } { 200\text{ g} }$ . On y verse de la lessive.
On sait que $\overset{ { \white{ } } } { 1\text{ cm}^3 }$ de lessive pèse $\overset{ { \white{ . } } } { 1,5\text{ g} }$ .

1. Nous devons déterminer la masse totale d'un paquet de lessive (masse de la lessive et masse du paquet vide) contenant $\overset{ { \white{} } } { 1\,600\text{ cm}^3 }$ de lessive.

La masse de lessive est proportionnelle au volume qu'elle occupe.

Or $\overset{ { \white{ } } } { 1\text{ cm}^3 }$ de lessive pèse $\overset{ { \white{ . } } } { 1,5\text{ g} }$ .
Donc $\overset{ { \white{ } } } { 1\,600\text{ cm}^3 }$ de lessive pèse $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,600\times1,5\text{ g} }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\,400\text{ g} }$ .

Déterminons la masse totale d'un paquet de lessive :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse de la lessive : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\,400\text{ g} }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse du paquet vide : $\overset{ { \white{ _. } } } { 200\text{ g} }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse totale d'un paquet de lessive : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\,400\text{ g}+200\text{ g} = \boxed{2\,600\text{ g}} }$

2. On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ qui à tout $\overset{ { \white{ m. } } } { x }$ associe $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,5x+200 }$ .

2. a) Lorsque $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ représente le volume de la lessive en $\overset{ { \white{ } } } { \text{cm}^3 }$ , la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ représente la masse totale exprimée en grammes, d'un paquet de lessive.

En effet, la démarche à suivre est analogue à la démarche utilisée dans l'exercice 1.
La masse de lessive est proportionnelle au volume qu'elle occupe.

$\overset{ { \white{ } } } { 1\text{ cm}^3 }$ de lessive pèse $\overset{ { \white{ . } } } { 1,5\text{ g} }$ .
Donc $\overset{ { \white{ } } } { x\text{ cm}^3 }$ de lessive pèse $\overset{ { \white{ . } } } { x\times1,5\text{ g} }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,5x\text{ g} }$ .

Déterminons la masse totale d'un paquet de lessive :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse de la lessive : $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,5x\text{ g} }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse du paquet vide : $\overset{ { \white{ _. } } } { 200\text{ g} }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Masse totale d'un paquet de lessive : $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,5x\text{ g}+200\text{ g} = \boxed{(1,5x + 200)\text{ g}} }$

Par conséquent, la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ représente la masse totale exprimée en grammes, d'un paquet de lessive.

2. b) Représentons graphiquement la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans un repère orthogonal sachant que sur l'axe des abscisses, nous prendrons 1 cm pour 200 cm³ et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 200 g.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une fonction affine.
Sa représentation graphique est une droite comprenant les points de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;200) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (1\,600\;;\;2\,600) }$ .

3. a) Par lecture graphique, nous observons que le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de $\overset{ { \white{ _. } } } {2\,300\text{ g} }$ est de $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{1\,400\text{ cm}^3} }$ .

3. b) Retrouvons ce résultat par calcul en résolvant l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2\,300 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=2\,300\quad\Longleftrightarrow\quad 1,5x+200=2\,300 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=2\,300}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,5x=2\,300-200} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=2\,300}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,5x=2\,100} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=2\,300}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{2\,100}{1,5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=2\,300}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1\,400}}$

3. c) Déterminons si un paquet de lessive en forme de pavé de largeur 12 cm, de profondeur 8 cm et de hauteur 15 cm peut contenir un tel volume.

Le volume du paquet de lessive en forme de pavé est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { (12\times8\times15)\,\text{cm}^3 }$ , soit $\overset{ { \white{ } } } { 1440\,\text{cm}^3 }$ .

Or le volume de lessive s'élève à $\overset{ { \white{ } } } { 1\,400\,\text{cm}^3 }$ .
Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { 1\,400<1\,440 }$ .

Par conséquent, un paquet de lessive en forme de pavé de largeur 12 cm, de profondeur 8 cm et de hauteur 15 cm peut contenir un volume de lessive de $\overset{ { \white{ } } } { 1\,400\,\text{cm}^3 }$ .

2,5 points

exercice 4

Dans un collège, 91 filles et 77 garçons participent à un club sciences.
On souhaite former des groupes, de sorte que chaque groupe ait le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

1. Décomposons 91 et 77 en produit de facteurs premiers.

Nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}91=7\times13\\77=7\times 11 \end{cases} }$

2. Nous devons en déduire combien de groupes au maximum on peut former.

Les nombres 91 et 77 ont un diviseur commun : le nombre 7.
De plus, 7 est par évidence le plus grand diviseur.

Donc 7 est le plus grand commun diviseur de 91 et 77.

Nous en déduisons que nous pouvons former au maximum 7 groupes , de sorte que chaque groupe ait le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

3. Déterminons le nombre d'élèves présents dans chaque groupe.

Dans chaque groupe, il y aura $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{91}{7}=13 }$ filles et $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{77}{7}=11 }$ garçons.

Donc chaque groupe comptera 13 filles et 11 garçons, soit 24 élèves.
_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 30-12-2025

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