Sujet donné en 2004 dans les académies de Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes.
12 points
Activités numériques
exercice 1
Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d'un nombre entier. Les calculs intermédiaires figureront sur la copie.
exercice 2
On considère l'expression D = (x - 2)2 - 2(x - 2).
1. Factoriser D.
2. Résoudre l'équation (x - 2)(x - 4) = 0.
3. Développer et réduire D.
4. Calculer D pour x = 1.
exercice 3
1. Résoudre le système suivant :
2. Montrer que le couple (1; 3,5) est solution du système suivant :
3. Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées.
Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros.
Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 24 euros.
Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ?
12 points
Activités géométriques
exercice 1
1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.
2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.
3. Calculer la mesure de l'angle . Le résultat sera arrondi au degré près.
4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en M.
5. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au mm près.
exercice 2
On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré, H est le point d'intersection des diagonales [BD] et [AC].
On sait que la hauteur [OH] mesure 4 cm.
1. Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm3, montrer que l'aire de la base est égale à 18 cm2.
2. En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure 32 cm.
3. Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD.
4. Calculer l'aire du triangle AOC.
exercice 3
On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité choisie est le centimètre.
1. Placer les points A(2; 2), B(-4; 5) et C(-4; -2).
2. a) Montrer que AC est égale à cm.
b) Calculer BC.
c) Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier.
3.a) Construire le milieu K du segment [AB].
b) La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier.
12 points
Problème
On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm.
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.
Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit un rectangle.
Partie A
Dans cette partie, ED = 3 cm.
1. Faire une figure aux dimensions exactes.
2. Calculer l'aire du rectangle ABCD.
3. Calculer l'aire du triangle rectangle ADE.
4.Montrer que l'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm2.
Partie B
Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED. On note ED = x (en cm).On rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.
1. Montrer que l'aire du trapèze ABCE, en cm2, peut s'écrire 3x + 30.
2. Sur le repère ci-dessous, représenter la fonction affine x 3x + 30.
3. Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2. Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés sur le graphique.
4. Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
1. Factorisation de l'expression D :
D = (x - 2)2 - 2(x - 2)
D = (x - 2)[(x - 2) - 2]
D = (x - 2)(x - 2 - 2)
D = (x - 2)(x - 4)
2. Résolution de l'équation (x - 2)(x - 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
x - 2 = 0 ou x - 4 = 0
x = 2 ou x = 4
Les solutions de l'équation sont 2 et 4.
3. Développement de l'expression D :
D = (x - 2)2 - 2(x - 2)
D = x2 - 2 × x × 2 + 22 - 2 × x - 2 × (-2)
D = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
D = x2 - 6x + 8
4. Calcul de D pour x = 1 :
D = x2 - 6x + 8
Donc, pour x = 1 :
D = 12 - 6 × 1 + 8
D = 1 - 6 + 8
D = 3
exercice 3
1. Résolution du système par la méthode de votre choix :
par la méthode de substitution :
D'après la deuxième équation, on peut écrire .
On remplace x par cette expression dans la première équation :
Donc .
Le couple (1 ; ) est solution du système.
par la méthode de combinaison :
On multiplie la deuxième équation par 5 :
On soustrait les deux équations membre à membre :
[nl
On remplace y par dans la deuxième équation :
Le couple (1 ; ) est solution du système.
2. En multipliant la première équation du premier système par 2 et la deuxième équation de ce même système par 3, on obtient :
Les systèmes des questions 1 et 2 sont donc identiques et ils ont donc même solution.
Le couple (1 ; ) est solution du système, soit encore (1 ; 3,5)
3. Soit x le prix d'une perle noire et y le prix d'une perle dorée.
Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros se traduit par :
Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est 24 euros se traduit par :
On obtient alors le système suivant :
dont le couple (1; 3,5) est solution.
D'où : une perle noire coûte 1 euro et une perle dorée coûte 3,5 euros.
Un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées sera vendu : 4 × 1 + 3 × 3,5 = 14,5, soit 14,5 euros.
Activités géométriques
exercice 1
1.
2. D'une part, EF2 + EG2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 d'autre part, GF2 = 132 = 169.
Comme EF2 + EG2 = GF2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.
3. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a :
D'où (en utilisant la calculatrice) : au degré près.
4. Voir schéma.
5. Les droites (BF) et (MG) sont sécantes en E. Comme les droites (BM) et (FG) sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, on a :
En particulier,
Donc :
Donc :
D'où : BM = cm (valeur exacte) BM 7,6 cm (au millimètre près).
exercice 2
1. Le volume d'une pyramide est donnée par : V = × aire de la base × hauteur.
Comme le volume de la pyramide est égal à 24 cm3 et que la hauteur OH mesure 4 cm, alors on a (on note A l'aire de la base):
24 = × A × 4
24 = × A
Soit
Conclusion : l'aire de la base est égale à 18 cm2.
2. La base de la pyramide est un carré ABCD. De plus, on sait que son aire est égale à 18 cm2, on obtient donc :
AB2 = 18
Donc : AB =
Conclusion : AB = cm.
3. Comme ABCD est un carré, alors sa diagonale AC mesure AB, c'est-à-dire :
AC =
Donc : AC = 6 cm.
remarque : si la formule précédente avait été oubliée, on pouvait toujours appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B.
4. Aire du triangle AOC :
AAOC = = 3 × 4 = 12
L'aire du triangle AOC est de 12 cm2.
b) Distance BC :
BC2 = (xC - xB)2 + (yC - yB)2 BC2 = (-4 - (-4))2 + (-2 - 5)2 BC2 = (0)2 + (-7)2 BC2 = 49
D'où : BC = 7 cm.
c) Comme AC BC, alors le triangle ABC n'est pas isocèle en C.
3. a) Voir graphique
b) Comme AC BC, alors le point C n'appartient pas à la médiatrice du segment [AB]. La droite (CK) ne peut donc pas être la médiatrice du segment [AB].
remarque : la droite (CK) est la médiane issue de C du triangle ABC.
Problème
Partie A
1.
2. Aire du rectangle ABCD :
AABCD = AB × BC = 5 × 6 = 30
L'aire du rectangle ABCD est égale à 30 cm2.
3. Aire du triangle ADE :
AADE = = 3 × 3 = 9
L'aire du triangle ADE est égale à 9 cm2.
4. Aire du trapèze ABCE :
AABDE = AADE + AABCD = 9 + 30 = 39
L'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm2.
Partie B
1. Aire du trapèze ABCE :
AABCE = AADE + AABCD =
L'aire du trapèze ABCE est égale à 3x + 30 cm2.
2. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ne passant pas par l'origine.
De plus, pour x = 1, 3 × 1 + 30 = 3 + 30 = 33
et pour x = 6, 3 × 6 + 30 = 18 + 30 = 48.
La droite passe donc par les points de coordonnées (1; 33) et (6; 48).
3. Par lecture graphique (cf pointillés), pour x = 2 cm, l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2.
4. Retrouvons par le calcul le résultat précédent :
On a vu (question 1.) que l'aire du trapèze ABCE est égale à 3x + 30. On obtient donc :
3x + 30 = 36
3x = 36 - 30
3x = 6
x = 6/3
x = 2
D'où : pour x = 2 cm, l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2 (on a retrouvé par le calcul le résultat de la question 3.).
Publié par Tom_Pascal
le
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