I. Groupes
Définition :
On dit que le magma
)
est un
groupe si et seulement si :
)
est un monoide,
Tout element de G admet un symetrique pour

.
Groupe abélien
On appelle
groupe abélien ( ou
groupe commutatif ) tout groupe
)
tel que

soit commutative.
Exemples :
1) )
est un groupe abélien.
2) L'ensemble des applications bijectives de

dans

est un groupe pour la composition.
Proposition :
Tout élément d'un groupe est régulier.
Ordre :
Si
)
est un groupe fini, on appelle
ordre de G le cardinal de G.
Sous-groupes :
Soient
)
un groupe,
)
. On dit que H est un
sous-groupe de G si et seulement si :
(

étant le neutre de G et

le symétrique de

dans G)
CNS du Sous-groupes :
Pour que H soit un sous groupe de G , il faut et il suffit que l'on ait :
H est stable pour

,
H est un groupe pour la loi induite par la loi

de G.
Exemple :
)
est un sous groupe de
)
.
Sous-groupe engendré :
Soient
)
un groupe ,
)
.
L'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G , appelé
sous-groupe engendré par A , et noté
Pour tout élément a de G , on notera

plutot que

Propriétés
Soient
)
un groupe ,
)
.
a) 
, où

est le neutre de G
b) Pour toute partie non vide A de G ,

est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques d'éléments de A
Groupe monogène et générateur :
Un groupe G est dit
monogène si et seulement s'il existe un élément a de G tel que

.
a est alors appelé
générateur de G.
Groupe cyclique :
Un groupe G est dit cyclique si et seulement s'il est monogène et fini.
Exemples :
1) )
est un groupe monogène de générateur 1 (ou -1).
2) )
n'est pas un groupe monogène.
Morphisme de groupes :
Soit
\to (G',\diamond))
un morphisme de magmas . Si
)
et
)
sont des groupes , alors f prend le nom de
morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où f est un
endomorphisme , un
isomorphisme ou un
automorphisme
Proposition :
Soit
\to (G',\diamond))
un morphisme de groupes . Alors :
a) =e')
(

et

étant les neutres respectifs de G et G')
b) =(f(x))^{-1})
Noyau et image d'un morphisme de groupe :
Soit
\to (G',\diamond))
un morphisme de groupes .
a) le
noyau de

est l'ensemble noté
)
tel que :
=\lbrace x\in G ; f(x)=e' \rbrace =f^{-1}(\lbrace e'\rbrace ))
où

est le neutre de G'
)
est un sous-groupe de G
b) l'
image de

est l'ensemble noté
)
tel que :
)
est un sous-groupe de G'
Groupes Isomorphes
Un groupe
)
est dit
isomorphe à un groupe
)
si et seulemet s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.
Exemple :
)
est isomorphe à
)
car
\end{array})
est un isomorphisme de groupe.
Transfert de la structure de groupe :
Soient
)
un groupe ,
)
un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de
)
sur
)
, alors
)
est un groupe isomorphe au groupe
)
.
II. Anneaux
Définition
Soit A un ensemble muni de deux lci notées

et

.
1) On dit que
)
(ou : A) est un
pseudo-anneau si et seulement si :
)
est un groupe abelien

est associative

est distributive sur
2) On dit que A est un
anneau si et seulement si :
A est un pseudo-anneau
A admet un neutre pour
3)On dit que A est un
anneau commutatif si et seulement si :
A est un anneau

est commutative
Exemples :
a) )
est un anneau commutatif.
b) ![(\mathbb{R}\left[X\right],+,\cdot)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathbb{R}\left[X\right],+,\cdot))
est un anneau commutatif.
Calculs dans un anneau :
Soit
)
un anneau . On note :
0 le neutre de +
-x le sym d'un élément x de A pour +
1 (ou 1
A ) le neutre de
On a alors :
a) 
( on dit que 0 est
absorbant pour

)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) \in A^{n} , (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=)
Binôme de Newton
Soient
)
un anneau ,

,
\in A^{2})
tel que xy=yx .
On a :
^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}y^{n-k})
Sous-anneaux
Soient
)
un anneau ,
)
. on dit que E est un
sous-anneau de A si et seulement si :
E est un sous-groupe de (A,+)

Exemples :
1) )
est un sous-anneau de
)
.
2) 
n'est pas un sous-anneau de
)
.
CNS du sous-anneaux
Morphismes d'anneaux
Soient A,A' deux anneaux ,

une application.
On dit que

est un
morphisme d'anneaux si et seulement si
\in A^{2})
:
 & f(x)+f(y) \\ f(xy)&f(x)f(y) \\ f(1_{A}) & 1_{A} \end{array} \right .)
un
endomorphisme d'anneau A est un morphisme de A dans A.
un
isomorphisme d'anneaux est un morphisme d'anneaux bijectif.
un
automorphisme d'un anneau A est un endomorphisme bijectif de l'anneau A.
Diviseur :
Soit A un anneau ,

.
On dit que a est un
diviseur de zéro à gauche (resp.
à droite) dans A si et ssi :
) \end{array} \right.)
On dit que a est un
diviseur de zéro dans A si et seulement si c'est un diviseur de zéro à droite
et à gauche.
Exemples :
1) 
n'admet aucun diviseur de zéro.
2) dans
)
,

est un diviseur de zéro à gauche et

est un diviseur de zéro à droite.
Anneau intègre
Un anneau A est dit
intègre si et seulement si :
A est commutatif
A n'admet aucun diviseur de zero

Exemples :
1) )
est intègre.
2) )
n'est pas intègre.
III. Corps
Définition :
un ensemble K muni de deux lois

est appelé
corps si et seulement si :
)
est un anneau
Tout element de

admet un inverse pour

dans K
Si de plus ,

est commutative dans K , on dit que K est un
corps commutatif.
Exemples :

sont des corps commutatifs.
Sous-corps
Soient K un corps ,
)
. On dit que F est un
sous-corps de K si et seulement si :
F est un sous-anneaux de K

Morphisme de corps
Soit

un morphisme d'anneau .
Si K et K' sont deux corps ,

prend le nom de
morphisme de corps.
On appliquera la même définition aux endomorphismes , isomorphismes et automorphismes d'anneaux.
Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans

sont des automorphismes de

.