Fiche de mathématiques

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Groupes, Anneaux, Corps

I. Groupes

Définition :

On dit que le magma $(G,\ast)$ est un groupe si et seulement si :
$(G,\ast)$ est un monoide,
Tout element de G admet un symetrique pour $\ast$ .

Groupe abélien

On appelle groupe abélien ( ou groupe commutatif ) tout groupe $(G,\ast)$ tel que $\ast$ soit commutative.

Exemples :
1) $(\mathbb{R},+)$ est un groupe abélien.
2) L'ensemble des applications bijectives de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un groupe pour la composition.

Proposition :

Tout élément d'un groupe est régulier.

Ordre :

Si $(G,\ast)$ est un groupe fini, on appelle ordre de G le cardinal de G.

Sous-groupes :

Soient $(G,\ast)$ un groupe, $H\in P(G)$ . On dit que H est un sous-groupe de G si et seulement si :
$\forall(x,y)\in H^{2} , x\ast y\in H$
$e \in H$
$\forall x\in H, x^{-1}\in H$
( $e$ étant le neutre de G et $x^{-1}$ le symétrique de $x$ dans G)

CNS du Sous-groupes :

Pour que H soit un sous groupe de G , il faut et il suffit que l'on ait :
H est stable pour $\ast$ ,
H est un groupe pour la loi induite par la loi $\ast$ de G.

Exemple :
$(\mathbb{R},+)$ est un sous groupe de $(\mathbb{C},+)$ .

Sous-groupe engendré :

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $A\in P(G)$ .
L'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G , appelé sous-groupe engendré par A , et noté $\langle A\rangle$
Pour tout élément a de G , on notera $\langle a\rangle$ plutot que $\langle \lbrace a\rbrace \rangle$

Propriétés

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $A\in P(G)$ .

a) $\langle\emptyset\rangle=\lbrace e\rbrace$ , où $e$ est le neutre de G
b) Pour toute partie non vide A de G , $\langle A\rangle$ est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques d'éléments de A

Groupe monogène et générateur :

Un groupe G est dit monogène si et seulement s'il existe un élément a de G tel que $G=\langle a\rangle$ .
a est alors appelé générateur de G.

Groupe cyclique :

Un groupe G est dit cyclique si et seulement s'il est monogène et fini.

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe monogène de générateur 1 (ou -1).
2) $(\mathbb{R},+)$ n'est pas un groupe monogène.

Morphisme de groupes :

Soit $f : (G,\ast)\to (G',\diamond)$ un morphisme de magmas . Si $(G,\ast)$ et $(G',\diamond)$ sont des groupes , alors f prend le nom de morphisme de groupes.

Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Proposition :

Soit $f : (G,\ast)\to (G',\diamond)$ un morphisme de groupes . Alors :
a) $f(e)=e'$ ( $e$ et $e'$ étant les neutres respectifs de G et G')
b) $\forall x\in G , f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$

Noyau et image d'un morphisme de groupe :

Soit $f : (G,\ast)\to (G',\diamond)$ un morphisme de groupes .

a) le noyau de $f$ est l'ensemble noté $Ker(f)$ tel que :
$Ker(f)=\lbrace x\in G ; f(x)=e' \rbrace =f^{-1}(\lbrace e'\rbrace )$ où $e'$ est le neutre de G'
$Ker(f)$ est un sous-groupe de G

b) l'image de $f$ est l'ensemble noté $Im(f)$ tel que :
$Im(f)=\lbrace y\in G',\exists x\in G , y=f(x)\rbrace =f(G)$
$Im(f)$ est un sous-groupe de G'

Groupes Isomorphes

Un groupe $(G,\ast)$ est dit isomorphe à un groupe $(G',\diamond)$ si et seulemet s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.

Exemple :
$(\mathbb{R},+)$ est isomorphe à $(\mathbb{R}_{+}^{*},+)$ car $\exp : \begin{array}{c} \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{+}^{*}\\ x \to \exp(x)\end{array}$ est un isomorphisme de groupe.

Transfert de la structure de groupe :

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $(E,\diamond)$ un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de $(G,\ast)$ sur $(E,\diamond)$ , alors $(E,\diamond)$ est un groupe isomorphe au groupe $(G,\ast)$ .

II. Anneaux

Définition

Soit A un ensemble muni de deux lci notées $+$ et $\cdot$ .

1) On dit que $(A,+,\cdot)$ (ou : A) est un pseudo-anneau si et seulement si :
$(A,+)$ est un groupe abelien
$\cdot$ est associative
$\cdot$ est distributive sur $+$

2) On dit que A est un anneau si et seulement si :
A est un pseudo-anneau
A admet un neutre pour $\cdot$

3)On dit que A est un anneau commutatif si et seulement si :
A est un anneau
$\cdot$ est commutative

Exemples :
a) $(\mathbb{R},+,\cdot)$ est un anneau commutatif.
b) $(\mathbb{R}\left[X\right],+,\cdot)$ est un anneau commutatif.

Calculs dans un anneau :

Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau . On note :
0 le neutre de +
-x le sym d'un élément x de A pour +
1 (ou 1_A ) le neutre de $\cdot$

On a alors :
a) $\forall x\in A , 0\cdot x=x\cdot 0=0$ ( on dit que 0 est absorbant pour $\cdot$ )

b) $\forall x\in A , (-1_{A})\cdot x=x\cdot (-1_{A})=-x$

c) $\forall (x,y)\in A^{2} , \left \lbrace \begin{array}{c} {(-x)y = x(-y)=-xy \\ (-x)(-y) = xy \\ \end{array} \right.$

d) $\forall (x,y,z)\in A^{3} , \left \lbrace \begin{array}{c} {(x-y)z = xz-yz \\ z(x-y) = zx-zy \\ \end{array} \right.$

e) $\forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall a\in A , (1-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}\right)(1-a)=1-a^{n}$

f) $\forall p\in\mathbb{N} , \forall a\in A , (1+a)\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}\right)(1+a)=1+a^{2p+1}$

g) $\forall a\in A , \forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},......,x_{n})\in A^{n} , \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ax_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

h) $\forall n,p\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},.....,x_{n})\in A^{n} , (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=$ $\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} y_{1}\right)$

Binôme de Newton

Soient $(A,+,\cdot)$ un anneau , $n\in\mathbb{N}$ , $(x,y)\in A^{2}$ tel que xy=yx .
On a :
$(x+y)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}y^{n-k}$

Sous-anneaux

Soient $(A,+,\cdot)$ un anneau , $E\in P(A)$ . on dit que E est un sous-anneau de A si et seulement si :
E est un sous-groupe de (A,+)
$\forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E$
$1_{A}\in E$

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\cdot)$ .
2) $2\mathbb{Z}$ n'est pas un sous-anneau de $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ .

CNS du sous-anneaux

Pour que E soit un sous-anneau de A , il faut et il suffit que :
$\forall(x,y)\in E^{2} , x-y\in E$
$\forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E$
$1_{A}\in E$

Morphismes d'anneaux

Soient A,A' deux anneaux , $f : A\to A'$ une application.
On dit que $f$ est un morphisme d'anneaux si et seulement si $\forall (x,y)\in A^{2}$ :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{=} c} f(x+y) & f(x)+f(y) \\ f(xy)&f(x)f(y) \\ f(1_{A}) & 1_{A} \end{array} \right .$

un endomorphisme d'anneau A est un morphisme de A dans A.
un isomorphisme d'anneaux est un morphisme d'anneaux bijectif.
un automorphisme d'un anneau A est un endomorphisme bijectif de l'anneau A.

Diviseur :

Soit A un anneau , $a\in A$ .
On dit que a est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) dans A si et ssi :
$\left \lbrace \begin{array}{c} {a \neq 0 \\ \exist t\in A , (b\neq 0\text{ et }at=0 (\text{resp. }ta=0)) \end{array} \right.$

On dit que a est un diviseur de zéro dans A si et seulement si c'est un diviseur de zéro à droite et à gauche.

Exemples :
1) $\mathb{Z}$ n'admet aucun diviseur de zéro.
2) dans $M_{2}(\mathbb{R})$ , $\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ est un diviseur de zéro à gauche et $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ est un diviseur de zéro à droite.

Anneau intègre

Un anneau A est dit intègre si et seulement si :
A est commutatif
A n'admet aucun diviseur de zero
$a \neq \emptyset$

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ est intègre.
2) $(\mathbb{Z}/_{6\mathbb{Z}},+,\cdot)$ n'est pas intègre.

III. Corps

Définition :

un ensemble K muni de deux lois $+,\cdot$ est appelé corps si et seulement si :
$(K,+,\cdot)$ est un anneau
$0_{K}\neq1_{K}$
Tout element de $K-\lbrace 0\rbrace$ admet un inverse pour $\cdot$ dans K

Si de plus , $\cdot$ est commutative dans K , on dit que K est un corps commutatif.

Exemples :
$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont des corps commutatifs.

Sous-corps

Soient K un corps , $L\in P(K)$ . On dit que F est un sous-corps de K si et seulement si :
F est un sous-anneaux de K
$\forall x\in F-\lbrace 0\rbrace , x^{-1}\in F$

Morphisme de corps

Soit $f : K\to K'$ un morphisme d'anneau .
Si K et K' sont deux corps , $f$ prend le nom de morphisme de corps.

On appliquera la même définition aux endomorphismes , isomorphismes et automorphismes d'anneaux.

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans $\mathbb{C}$ sont des automorphismes de $\mathbb{C}$ .

Publié par Tom_Pascal le 25-02-2017

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