.
.
.
.
.
.
. Montrer que la partie
.
. Et on définit:
.
.
.
.
est irrationnel.
est nulle.
Partie I - Classification des sous-groupes de
1) On a:
Soient

, il existe donc deux éléments

tels que:
Il s'ensuit que
Et donc:
On obtient:
2) Évident:
La différence de deux rationnels est un rationnel :
3-a) Puisque

est un sous-groupe de
)
non réduit à

, alors il existe

, et donc, son symétrique appartient aussi à

:

.
Or, on a
)
, donc l'un des deux

appartient à

.
Soit:
De plus,

est par définition minorée par

, en effet,

est donc une partie de

non vide et minorée, donc d'après la
propriété de la borne inférieure:
Finalement, puisque

est un minorant de

et que la borne inférieure de

est le plus grand de ses minorants, alors:
b)
Si
Alors
On a
D'où:
Si
Alors
On a,
D'autre part, soit

.
Par densité de

dans

, alors:
On a donc aussi
On en tire que:
De
4-a) Raisonnons par l'absurde, en supposant que
D'après la caractérisation de la borne inférieure

:
Soit
Soit
On obtient donc:

en sachant que

puisque

est un sous-groupe de
Il existerait donc un élément de

qui est plus petit que la borne inférieure de

, ce qui est absurde.
Donc:
b) Montrons que
Pour cela, on montre par récurrence que
Initialisation: Pour
Hérédité: Soit
On a:
Donc
Conclusion:
Soit

d'après la proposition du cours (à partir de laquelle on a déduit l'existence de la partie entière), on obtient:
Donc

.
Or, d'après
Mais, puisque
Donc
ne peut pas être strictement supérieur à 
, et donc la seule possibilité restante est que

soit nul.
Ou encore que

.
On en déduit que:
5) Soient

.
Donc

, et puisque

, on peut considérer
D'après la proposition du cours (à partir de laquelle on a déduit l'existence de la partie entière), on obtient:
De plus:
On ne tire que:
Finalement,

, alors
x\in G)
puisque

est un sous-groupe de
On a donc trouvé un élément

.
Ce qui achève la démonstration:
Partie II - Applications
6) On a:
Soient

, il existe donc quatre éléments

tels que:
Il s'ensuit que
Et donc:
On obtient:
7-a)
Donc
Soit

est donc un minorant de
')
. Sa borne inférieure

vérifie donc:
b) Directement:
c) D'après la question précédente,
Donc,

. Mais d'après
7-a) ,
On en tire que
D'où

, et donc, d'après la question
4):
8-a) Raisonnons par l'absurde en supposant que
Donc:

, on en tire que

, or
Il existe donc

, et il s'ensuit que:

et, d'après le lemme d'Euclide
)
, on aboutit à:
Donc

serait un diviseur commun à

, ce qui est absurde car on a supposé que
On en déduit que:
b) Raisonnons par l'absurde en supposant que
On a alors, d'après la question
4) ,
Par conséquent, puisque
\text{ et }\sqrt{3}\in (\Z+\sqrt{3} \Z))
, il existe
Ce qui donne
Ce qui est absurde car on a d'après la question
8-a) :

.
D'où:
c) Directement, d'après la question
5) , puisque la borne inférieure

:
Fin de la correction
Rappel
Lemme d'Euclide: Soient

et

deux entiers. Si un nombre
premier 
divise le produit

, alors

divise

ou

.