Fiche de mathématiques
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INTRODUCTION

Le présent cours est repris du travail de Bourbaki.
Il s'agit d'un résumé adapté et facilement lisible du monumental ouvrage : ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Théorie des ensembles.
Il est présenté ici :

Chapitre I : Description de la mathématique formelle.

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Paragraphe 1 : Termes et relations.

§1 - Signes et assemblages



Afin de pouvoir élaborer une Théorie mathématique \blue \mathfrak T, il va être nécessaire de connaître, avant tout, les signes qui vont constituer son alphabet.
Ces signes sont les suivants :
Des signes logiques : \blue \lnot (non), \blue \lor (ou), \blue \square (carré) et \blue \tau (tau)
Des lettres : x, y, z, A, B, C, A', A''... toute lettres majuscules, minuscule, primée, des alphabets latin, grecs ou autre.
Des signes spécifiques : ils dépendront de la théorie considérée.
En mathématiques, il n'y a que 2 signes spécifiques de poids 2 : "\blue =" (égal) et "\blue \in" (appartient)

On ne développera pas dans ce cours de théories avec des signes spécifiques autres que ceux mentionnés ci-dessus.
DEFINITION

On appelle assemblage d'une théorie \blue  \mathfrak T, toute succession de signes de \blue  \mathfrak T, écrits les uns à côté des autres, les signes logiques \blue  \tau et \blue  \square pouvant être reliés par des traits qui courent au dessus de la ligne, et qu'on appelle liens.


Exemples :

\blue  x~\square~y~\lor = A'~\phi = \square =~\in y

\blue  d = \overline {\tau~h~\overline {\tau~x = y~\square}~A~B~\in~=~\square}~\lor B

\blue  \overline {\overline {\tau~\lnot~\lnot~\lnot~\in~\overline {\tau \lnot~\lnot~\in~\square}~\square}~\square}

Sont des assemblages. Ils n'ont à priori aucun sens, (sauf peut-être le troisième, que vous aurez reconnu comme étant \blue \emptyset, n'est-ce-pas !) car aucune règle n'a encore été énoncée pour leur en donner.

L'usage exclusif des assemblages conduirait à des difficultés insurmontables. C'est pourquoi, on utilise des symboles abréviateurs (notamment des mots du langage courant qui ne font pas partie de la mathématique formelle).
L'introduction des ces symboles fait l'objet des définitions.

Par exemple : l'assemblage \blue \lor \lnot se représente par \blue \Rightarrow : \blue  \lor \lnot AB sera écrit \blue  \Rightarrow AB
DEFINITION

On appelle Théorie Mathématique tout ensemble de règles permettant de différencier la natures des assemblages en :
Relation
Terme
Théorème



Pour qu'il n'y ait pas de confusion pour la suite, et dans un premier temps, on désignera par une lettre en gras, un assemblage indéterminé, ou une lettre indéterminée.
Et autant que faire se peut, les assemblages seront écrits en bleu.

Exemple : L'énoncé "Soit \blue  \mathbf A un assemblage" signifiera que \blue \mathbf A représente une suite de symbole définis ci-dessus et non pas l'assemblage composé uniquement de la lettre \blue \mathbf A.
MANIPULATION D'ASSEMBLAGES

Soit \blue  \mathbf A et \blue \mathbf B deux assemblages et \blue \mathbf x une lettre.

- On désignera par \blue  \mathbf {AB} l'assemblage obtenu en écrivant l'assemblage \blue  \mathbf B à droite de l'assemblage \blue  \mathbf A

- On désignera par \blue  \lor \mathbf A \lnot \mathbf B l'assemblage obtenu en écrivant de gauche à droite :
Le signe \blue  \lor puis l'assemblage \blue  \mathbf A puis le signe \blue  \lnot puis l'assemblage \blue   \mathbf B.

- On désignera par \blue  \tau _ {\mathbf x}( \mathbf A) l'assemblage obtenu de la façon suivante :
1- on forme l'assemblage \blue  \tau \mathbf A
2- on joint par un lien chaque occurrence de \blue  \mathbf x dans \blue  \mathbf A au \blue  \tau écrit à la gauche de \blue  \mathbf A
3- on remplace \blue  \mathbf x en chacune de ses occurrences, par un \blue  \square.


Exemple : l'objet \blue  \tau _ x(\in xy) désigne l'assemblage \blue  \overline {\tau \in \square} y
L'assemblage désigné par \blue  \tau_{\mathbf x}( \mathbf A) ne contient donc pas la lettre \blue \mathbf x.

Précisons par anticipation que le symbole \blue  \exists tire son origine d'une écriture de type \blue  \tau _ {\mathbf x}( \mathbf A)
Ainsi, un assemblage de type \blue  (\exists x)(P(x)) ne contiendra pas la lettre \blue  x malgré qu'elle soit écrite.
Cette constatation est à l'origine du "mutisme" des variables.
MANIPULATION D'ASSEMBLAGES

Soit \blue  \mathbf A et \blue  \mathbf B deux assemblages et \blue  \mathbf x une lettre.
L'assemblage désigné par \blue  (\mathbf B|\mathbf x)\mathbf A (qui se lit : "\blue \mathbf B remplace \blue \mathbf x dans \blue \mathbf A")
est l'assemblage obtenu en remplaçant la lettre \blue \mathbf x en chacune de ses occurences dans \blue \mathbf A par l'assemblage \blue \mathbf B.


Exemple :
Soit \blue \mathbf A l'assemblage \blue  x \lor y
Soit \blue \mathbf B l'assemblage \blue  z \lnot y
Alors l'assemblage désigné par \blue (\mathbf B|x)\mathbf A est l'assemblage \blue  z \lnot y \lor y

Si la lettre x ne figure pas dans \blue \mathbf A alors l'assemblage \blue (\mathbf B|\mathbf x)\mathbf A est identique à \blue \mathbf A
En particulier \blue (\mathbf B|\mathbf x)\tau _ {\mathbf x}( \mathbf A) est identique à \blue \tau _ {\mathbf x}( \mathbf A)

Lorsque, étant donné un assemblage \blue \mathbf A, on s'intéresse particulièrement à une lettre \blue \mathbf x, ou à deux lettres \blue \mathbf x et \blue \mathbf y, on écrit souvent \blue \mathbf A[\mathbf x,\mathbf y].
Dans ce cas, si \blue \mathbf B est un assemblage, on écrit \blue \mathbf {A[B]} pour \blue \mathbf {(B|x)A}.
Si \blue \mathbf C est un assemblage, on écrit \blue \mathbf {A[B,C]} l'assemblage obtenu en remplaçant simultanément \blue \mathbf x par \blue \mathbf B et \blue \mathbf y par \blue \mathbf C.

Si \blue \mathbf {x'} et \blue \mathbf {y'} sont des lettres distinctes de \blue \mathbf x} et \blue \mathbf y et distinctes entre elles, ne figurant ni dans \blue \mathbf A ni dans \blue \mathbf B ni dans \blue \mathbf C alors :
\blue \mathbf {A[B,C]} n'est autre que \blue (\mathbf B|\mathbf {x'})(\mathbf C|\mathbf {y'})(\mathbf {x'}|\mathbf x)(\mathbf {y'}|\mathbf y)\mathbf A

§2. Critères de substitution



La mathématique formelle ne comporte que des assemblages explicitement écrits. Cependant, même avec l'usage de symboles abréviateurs, un développement de la mathématique strictement conforme à ce principe deviendrait vite illisible. C'est pourquoi on va se servir de critères appelés critère de substitution (C.S.)

Les démonstrations sont laissées au soin des lecteurs.
C.S.1

Soient \blue \mathbf X et \blue \mathbf Y des assemblages, \blue \mathbf a et \blue \mathbf b des lettres.
Si \blue \mathbf b ne figure pas dans \blue \mathbf X, alors \blue (\mathbf Y|\mathbf a)\mathbf X est identique à \blue (\mathbf Y|\mathbf b)(\mathbf b|\mathbf a)\mathbf X

C.S.2

Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C des assemblages, \blue \mathbf x et \blue \mathbf y des lettres distinctes. Si \blue \mathbf y ne figure pas dans \blue \mathbf B alors :
\blue (\mathbf B|\mathbf x)(\mathbf C|\mathbf y)\mathbf A est identique à \blue (\mathbf {C'}|\mathbf y)(\mathbf B|\mathbf x)\mathbf A\blue \mathbf {C'} est l'assemblage \blue (\mathbf B|\mathbf x)\mathbf C

C.S.3

Soit \blue \mathbf A, un assemblage, \blue \mathbf x et \blue \mathbf {x'} des lettres. Si \blue \mathbf {x'} ne figure pas dans \blue \mathbf A alors :
\blue \tau _ {\mathbf x}( \mathbf A) est identique à \blue \tau _ {\mathbf {x'}}( \mathbf {A'})\blue \mathbf {A'} est l'assemblage \blue (\mathbf {x'}|\mathbf x)\mathbf A

C.S.4

Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des assemblages, \blue \mathbf x et \blue \mathbf y des lettres distinctes. Si \blue \mathbf x ne figure pas dans \blue \mathbf B alors :
\blue ( \mathbf B|\mathbf y)\tau _ {\mathbf x}( \mathbf A) est identique à \blue \tau _ {\mathbf x}( \mathbf {A'})\blue \mathbf {A'} est l'assemblage \blue (\mathbf B|\mathbf y)\mathbf A

C.S.5

\blue \textrm{Soient } \mathbf A, \mathbf B \textrm { et } \mathbf C \textrm{ des assemblages, et }  \mathbf x \textrm{ une lettre.}
\blue \textrm{On note : }
\blue \mathbf {A'} \textrm { l'assemblage }(\mathbf C|\mathbf x)\mathbf A
\blue \mathbf {B'} \textrm { l'assemblage }(\mathbf C|\mathbf x)\mathbf B
\blue \textrm{Alors :}
\blue (\mathbf C|\mathbf x)(\lnot\mathbf A)\textrm { est identique à }\lnot \mathbf {A'}
\blue (\mathbf C|\mathbf x)(\lor\mathbf A\mathbf B)\textrm { est identique à }\lor\mathbf{A'}\mathbf{B'}
\blue (\mathbf C|\mathbf x)(\Rightarrow\mathbf A\mathbf B)\textrm { est identique à }\Rightarrow\mathbf{A'}\mathbf{B'}
\blue (\mathbf C|\mathbf x)(s\mathbf A\mathbf B)\textrm { est identique à }s\mathbf{A'}\mathbf{B'}\textrm { où s est un signe spécifique.}}



§3. constructions formatives



On ne considère ici que les signes spécifiques \blue s de poids 2 "\blue =" et "\blue \in".
DEFINITION

Un assemblage est dit de \blue  \textrm {première espèce} s'il commence par un \blue \tau ou s'il se réduit à une lettre.
Dans tous les autres cas, il est dit de \blue  \textrm {deuxième espèce}.

DEFINITION

On appelle \blue  \textrm {construction formative} d'une théorie \blue \mathfrak T, toute suite d'assemblage qui possède la propriété suivante:
Pour chaque assemblage \blue \mathbf A de la suite, l'une des conditions ci après est vérifiée :

a) \blue \mathbf A est une lettre.
b) il y a, dans la suite un assemblage de deuxième espèce \blue \mathbf B précédant \blue \mathbf A, tel que \blue \mathbf A soit \blue \lnot\mathbf B.
c) il y a, dans la suite deux assemblage de deuxième espèce \blue \mathbf B et \blue \mathbf C précédant \blue \mathbf A, tels que \blue \mathbf A soit \blue \lor\mathbf B\mathbf C.
d) il y a, dans la suite un assemblage de deuxième espèce \blue \mathbf B précédant \blue \mathbf A, et une lettre \blue \mathbf x tels que \blue \mathbf A soit \blue \tau _ {\mathbf x}( \mathbf B).
e) il existe un signe spécifique \blue s (de poids 2 comme convenu) dans \blue \mathfrak T, et, dans la suite, deux assemblages de première espèce \blue \mathbf {B_1} et \blue \mathbf {B_2} précédant \blue \mathbf A tels que \blue \mathbf A soit \blue s\mathbf {B_1}\mathbf {B_2}.


Exemple : dans la théorie des ensembles où \blue \in est un signe spécifique, voici une construction formative :
(Les parenthèses ne sont là qui pour aider à la compréhension et ne jouent aucun autre rôle)

\blue  x

\blue  B

\blue  C

\blue  \in xB que l'on connaît mieux sous la forme \blue x \in B

\blue  \in xC que l'on connaît mieux sous la forme \blue x \in C

\blue  \lnot (\in xB) que l'on connaît mieux sous la forme \blue x \notin B

\blue  \lor (\lnot \in xB)(\in xC) qui s'écrit \blue  \Rightarrow (\in xB)( \in xC) que l'on connaît mieux sous la forme \blue  (x \in B) \Rightarrow (x \in C)

\blue  \overline {\overline {\tau \lor (\lnot \in \square} B)(\in \square} C) qui peut s'écrire \blue  \tau_w((w \in B) \Rightarrow (w \in C))
DEFINITION des termes et relations

On appelle \blue  \textrm {terme} d'une théorie \blue \mathfrak T, tout assemblage de première espèce figurant dans une construction formative de \blue \mathfrak T.
On appelle \blue  \textrm {relation} d'une théorie \blue \mathfrak T, tout assemblage de deuxième espèce figurant dans une construction formative de \blue \mathfrak T.

Nous y voilà ! Une relation, ce n'est rien d'autre que cela.
Dans une théorie \blue \mathfrak T, on distingue donc trois type d'assemblage :
Ceux qui ne veulent rien dire, c'est-à-dire les assemblages, quels qu'ils soient dès lors qu'ils ne figurent pas dans une construction formative.
Les termes : assemblages de première espèce d'une construction formative.
Les relations : assemblages de deuxième espèce d'une construction formative.

En reprenant l'exemple ci-dessus :
\blue  x : Terme

\blue  B : Terme

\blue  C : Terme

\blue  \in xB : Relation

\blue  \in xC : Relation

\blue  \lnot (\in xB) : Relation

\blue  \lor (\lnot \in xB)(\in xC) : Relation

\blue  \overline {\overline {\tau \lor (\lnot \in \square} B)(\in \square} C) : Terme

Intuitivement, un terme est un assemblage qui représente un objet.
Une relation représente un prédicat, une assertion, une propriété que l'on peut énoncer sur des objets.

Exemples :
\blue  \emptyset, \N, \R, (f : \R \rightarrow \Z, f(x)=[x]) sont des termes.
\blue  \pi = 1 + 2,~A \subset B sont des relations.
\blue  \pi \textrm { et } e n'est ni un terme ni une relation.

§4. Critères formatifs



Sont donnés ici des critères formatifs (C.F.) qui permettent de construire des termes et relations à partir d'autre termes et relations.
Comme toujours, les démonstrations sont laissées au soin du lecteur.
On fera appel à leur numéro par la suite.

Rappel : Quand on parlera de terme ou de relation, il sera toujours sous-entendu que ce sont des assemblages issus d'une construction formative.
C.F.1
Si \blue \Mathbf A et \blue \Mathbf B sont deux relations d'une théorie \blue \mathfrak T, alors \blue \lor \Mathbf {AB} est une relation de \blue \mathfrak T.

Intuitivement \blue \lor \Mathbf {AB} représente la relation \blue \Mathbf A \textrm { ou } \Mathbf B
C.F.2
Si \blue \Mathbf A est une relation d'une théorie \blue \mathfrak T, alors \blue \lnot \Mathbf A est une relation de \blue \mathfrak T.

Intuitivement \blue \lnot \Mathbf A représente la négation de \blue \Mathbf A
C.F.3
Si \blue \Mathbf A est une relation et \blue \Mathbf x une lettre d'une théorie \blue \mathfrak T, alors \blue \tau_x (\Mathbf A) est terme de \blue \mathfrak T.

Intuitivement \blue \tau_x (\Mathbf A) représente un objet privilégié qui vérifie la relation \blue \Mathbf A, vue comme relation en \blue x.
C.F.4
Si \blue \Mathbf T_1 et \blue \Mathbf T_2 sont deux termes d'une théorie \blue \mathfrak T, et s un signe spécifique (de poids 2, toujours) de T, alors \blue s\Mathbf T_1\Mathbf T_2 est une relation de \blue \mathfrak T.

Intuitivement \blue s\Mathbf T_1\Mathbf T_2 représente une assertion que l'on peut faire sur les objets \blue \Mathbf T_1 et \blue \Mathbf T_2
Exemples :
\blue  =\Mathbf T_1\Mathbf T_2 qui sera plus classiquement évoqué sous la forme \blue  \Mathbf T_1=\Mathbf T_2
\blue  \in \Mathbf T_1\Mathbf T_2 qui sera plus classiquement évoqué sous la forme \blue  \Mathbf T_1 \in \Mathbf T_2

On en déduit aussitôt :
C.F.5
Si \blue \Mathbf R_1 et \blue \Mathbf R_2 sont deux relations d'une théorie \blue \mathfrak T, alors \blue \Rightarrow \Mathbf R_1\Mathbf R_2 est une relation de \blue \mathfrak T.

Intuitivement, la relation \blue \Rightarrow \Mathbf R_1 \Mathbf R_2 est l'implication de \blue \Mathbf R_2 par \blue \Mathbf R_1, qui qui sera plus classiquement évoqué sous la forme \blue  \Mathbf R_1 \Rightarrow \Mathbf R_2
C.F.6
Soit \blue \Mathbf A_1, ...,\Mathbf A_n une construction formative d'une théorie \blue \mathfrak T, et \blue \Mathbf x et \blue \Mathbf y des lettres de \blue \mathfrak T. Si \blue \Mathbf y ne figure pas dans les \blue \Mathbf A_i, alors :
\blue (\Mathbf y|\Mathbf x)\Mathbf A_1, ...,(\Mathbf y|\Mathbf x)\Mathbf A_n est une construction formative de \blue \mathfrak T.

C.F.7
Soient \blue \Mathbf R une relation d'une théorie \blue \mathfrak T et \blue \Mathbf T un terme de \blue \mathfrak T. Soient \blue \Mathbf x et \blue \Mathbf y des lettres de \blue \mathfrak T. Alors :
\blue (\Mathbf y|\Mathbf x)\Mathbf R est une relation de \blue \mathfrak T
\blue (\Mathbf y|\Mathbf x)\Mathbf T est terme de \blue \mathfrak T.

C.F.8

Soient \blue \Mathbf A une relation (resp. un terme) d'une théorie \blue \mathfrak T.
Soient \blue \Mathbf x une lettre et \blue \Mathbf T un terme de \blue \mathfrak T. Alors :
\blue (\Mathbf T|\Mathbf x)\Mathbf A est une relation (resp. un terme) de \blue \mathfrak T.

Ce critère est capital, on fera régulièrement appel à lui.
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