Le présent cours est repris du travail de Bourbaki.
Il s'agit d'un résumé adapté et facilement lisible du monumental ouvrage : ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Théorie des ensembles.
Il est présenté ici :
Chapitre I : Description de la mathématique formelle.
§2 : Théorèmes.
Introduction
Pour l'antériorité > voir :
termes et relations [dans les fiches de l'Ile]
Pour la suite > voir :
théories logiques [dans les fiches de l'Ile]
Nous sommes maintenant en possession d'une "machine" à fabriquer des termes et relations.
Mais la question se pose alors de savoir comment va être initié le processus qui nous permettra
de construire une théorie mathématique.
Pour faciliter la lecture, on écrira désormais, si

et

sont des relations :
" non

" pour
"

" pour
"

" pour

.
N.B. : ce chapitre est très court, et seuls les deux premiers paragraphes sont vraiment importants à saisir.
§1 - Axiomes
Pour initier une théorie mathématique

, on fait ceci :
1°) On écrit d'abord un certain nombres de relations que l'on appellera les
axiomes explicites.
Toutes les lettres qui figureront dans les axiomes explicites seront appelées
constantes de la théorie.
2°) On se donne une ou plusieurs règles

, qu'on va appeler
schéma de

, qui doivent vérifier les
particularités suivantes :
a) l'application d'une telle règle

fournit une relation de

.
b) si

est un terme de

,

une lettre et

une relation de

construite par application du schéma

,
alors la relation
\mathbf R)
peut encore se construire par application de

.
Toute relation formée par application d'un schéma s'appellera
axiome implicite.
Nous verrons des exemples lors de l'exposition des différentes théories.
§2 - Démonstrations
DEFINITION
Soit

une théorie mathématique.
On appelle DEMONSTRATION de

toute construction formative dans laquelle
chaque relation

de la suite vérifie l'une des conditions suivantes:
a1)

est un axiome explicite de
a2)

résulte de l'application d'un schéma de

à des termes ou relations
figurant dans la construction formative.
b) Il y a dans la suite deux relations

et

telles que

soit

DEFINITION
On appelle THEOREME de

toute relation figurant dans une démonstration de

.
Au lieu de théorème, on parlera aussi de relation
vraie de

, ou de proposition, de corollaire, de lemme ...
Si

est un terme de

,
si

est une relation de

et si
\mathbf R)
est un théorème de

on dit alors que
vérifie dans
la relation 
ou que
est une solution de 
dans

.
Une relation est dite
fausse dans

si sa négation est un théorème de

.
Une théorie

est dite
contradictoire si l'on a écrit une relation qui est à la fois
vraie et fausse dans

.
Pour abréger encore les démonstrations, il va être énoncé des critères appelés
critères déductifs.
Ils seront précédés de la lettre C suivi d'un numéro.
C1 ou règle du MODUS PONENS
Soient

et

deux relations d'une théorie

.
Si

et

sont des théorèmes de

alors

est un théorème de

.
§3 - Substitutions dans une théorie.
Soit

une théorie,
![\blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]])
ses axiomes explicites,

une lettre, et

un terme de

.
Soit
\mathfrak T)
la théorie dont les signes et les schémas sont les même que ceux de

,
et dont les axiomes explicites sont
![\blue ((\mathbf T|x)\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue ((\mathbf T|x)\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]])
.
C2
Soient

un
théorème d'une théorie

,

un terme de

et

une lettre.
Alors
\mathbf A)
est un théorème de
\mathfrak T)
.
C3
Soient

un
théorème d'une théorie

,

un terme de

et

une lettre qui n'est pas une constante de

.
Alors
\mathbf A)
est un théorème de

.
Donc, en particulier, si

ne comporte pas d'axiomes explicites,
ou si les axiomes explicites de

ne comportent pas de constantes,
C3 s'applique sans restriction sur la lettre
§4 - Comparaisons de théories.
Une théorie

est dite
plus forte qu'une théorie

si :
Tous les signes de

sont des signes de
Tous les axiomes explicites de

sont des théorèmes de
Tous les schémas de

sont des schémas de
C4
Si une théorie

est plus forte qu'une théorie

, alors
tous les théorèmes de

sont des théorèmes de

Par exemple : si

est la théorie des ensembles,

la théorie des groupes
et

la théorie des espaces vectoriels. Alors :

est plus forte que

qui est plus forte que
C5
Soient

une théorie et soient :
![\blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]])
ses axiomes explicites.
![\blue (\mathbf a_i)_{i \in [[1,k]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue (\mathbf a_i)_{i \in [[1,k]])
ses constantes.
![\blue (\mathbf T_i)_{i \in [[1,k]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue (\mathbf T_i)_{i \in [[1,k]])
des termes de

.
On suppose que :
pour tout
![\blue i \in [[1, n]]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\blue i \in [[1, n]])
,
(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathbf A_i)
soient des théorèmes d'une théorie
Les signes de

soient des signes de
Les schémas de

soient des schémas de
Alors, si

est un théorème de

,
alors
(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathbf \theta)
est un théorème de

En effet,

est plus forte que
(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathfrak T)
,
et il suffit d'appliquer C2 et C4.
Quand on déduit, par ce procédé, un théorème de

d'un théorème de

, on dit
qu'
on applique dans
les résultats de
N.B. : sous les hypothèses de C5, si la théorie

s'avérait contradictoire,
il en serait de même de

. Par exemple, si la théorie des ensembles était contradictoire,
il en serait de même de la théorie des groupes.