Fiche de mathématiques
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Théorèmes

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Le présent cours est repris du travail de Bourbaki.
Il s'agit d'un résumé adapté et facilement lisible du monumental ouvrage : ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Théorie des ensembles.
Il est présenté ici :


Chapitre I : Description de la mathématique formelle.


§2 : Théorèmes.

Introduction


Pour l'antériorité > voir : termes et relations [dans les fiches de l'Ile]
Pour la suite > voir : théories logiques [dans les fiches de l'Ile]

Nous sommes maintenant en possession d'une "machine" à fabriquer des termes et relations.
Mais la question se pose alors de savoir comment va être initié le processus qui nous permettra de construire une théorie mathématique.

Pour faciliter la lecture, on écrira désormais, si \blue \mathbf A et \blue \mathbf B sont des relations :
" non \blue \mathbf A " pour \blue \lnot \mathbf A
" \blue \mathbf A \textrm { ou } \mathbf B " pour \blue \lor \mathbf A \mathbf B
" \blue \mathbf A \Rightarrow \mathbf B " pour \blue \Rightarrow \mathbf A \mathbf B.

N.B. : ce chapitre est très court, et seuls les deux premiers paragraphes sont vraiment importants à saisir.

§1 - Axiomes


Pour initier une théorie mathématique \blue \mathfrak T, on fait ceci :

1°) On écrit d'abord un certain nombres de relations que l'on appellera les axiomes explicites.
Toutes les lettres qui figureront dans les axiomes explicites seront appelées constantes de la théorie.

2°) On se donne une ou plusieurs règles \blue \mathfrak R, qu'on va appeler schéma de \blue \mathfrak T, qui doivent vérifier les particularités suivantes :

a) l'application d'une telle règle \blue \mathfrak R fournit une relation de \blue \mathfrak T.

b) si \blue \mathbf T est un terme de \blue \mathfrak T, \blue \mathbf x une lettre et \blue \mathbf R une relation de \blue \mathfrak T construite par application du schéma \blue \mathfrak R, alors la relation \blue (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf R peut encore se construire par application de \blue \mathfrak R.

Toute relation formée par application d'un schéma s'appellera axiome implicite.

Nous verrons des exemples lors de l'exposition des différentes théories.

§2 - Démonstrations

DEFINITION
Soit \blue \mathfrak T une théorie mathématique.
On appelle DEMONSTRATION de \blue \mathfrak T toute construction formative dans laquelle chaque relation \blue \mathbf R de la suite vérifie l'une des conditions suivantes:
a1) \blue \mathbf R est un axiome explicite de \blue \mathfrak T
a2) \blue \mathbf R résulte de l'application d'un schéma de \blue \mathfrak T à des termes ou relations figurant dans la construction formative.
b) Il y a dans la suite deux relations \blue \mathbf S et \blue \mathbf T telles que \blue \mathbf T soit \blue \mathbf S \Rightarrow \mathbf R

DEFINITION
On appelle THEOREME de \blue \mathfrak T toute relation figurant dans une démonstration de \blue \mathfrak T.

Au lieu de théorème, on parlera aussi de relation vraie de \blue \mathfrak T, ou de proposition, de corollaire, de lemme ...
Si \blue \mathbf T est un terme de \blue \mathfrak T, si \blue \mathbf R est une relation de \blue \mathfrak T et si \blue (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf R est un théorème de \blue \mathfrak T on dit alors que \blue \mathbf T vérifie dans \blue \mathfrak T la relation \blue \mathbf R ou que \blue \mathbf T est une solution de \blue \mathbf R dans \blue \mathfrak T.
Une relation est dite fausse dans \blue \mathfrak T si sa négation est un théorème de \blue \mathfrak T.
Une théorie \blue \mathfrak T est dite contradictoire si l'on a écrit une relation qui est à la fois vraie et fausse dans \blue \mathfrak T.

Pour abréger encore les démonstrations, il va être énoncé des critères appelés critères déductifs.
Ils seront précédés de la lettre C suivi d'un numéro.
C1 ou règle du MODUS PONENS
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B deux relations d'une théorie \blue \mathfrak T. Si \blue \mathbf A et \blue \mathbf A \Rightarrow \mathbf B sont des théorèmes de \blue \mathfrak T alors \blue \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak T.

§3 - Substitutions dans une théorie.

Soit \blue \mathfrak T une théorie, \blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]] ses axiomes explicites, \blue \mathbf x une lettre, et \blue \mathbf T un terme de \blue \mathfrak T.
Soit \blue (\mathbf T|x)\mathfrak T la théorie dont les signes et les schémas sont les même que ceux de \blue \mathfrak T, et dont les axiomes explicites sont \blue ((\mathbf T|x)\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]].
C2
Soient \blue \mathbf A un théorème d'une théorie \blue \mathfrak T, \blue \mathbf T un terme de \blue \mathfrak T et \blue \mathbf x une lettre.
Alors \blue (\mathbf T|x)\mathbf A est un théorème de \blue (\mathbf T|x)\mathfrak T.

C3
Soient \blue \mathbf A un théorème d'une théorie \blue \mathfrak T, \blue \mathbf T un terme de \blue \mathfrak T et \blue \mathbf x une lettre qui n'est pas une constante de \blue \mathfrak T.
Alors \blue (\mathbf T|x)\mathbf A est un théorème de \blue \mathfrak T.

Donc, en particulier, si \blue \mathfrak T ne comporte pas d'axiomes explicites, ou si les axiomes explicites de \blue \mathfrak T ne comportent pas de constantes, C3 s'applique sans restriction sur la lettre \blue \mathbf x

§4 - Comparaisons de théories.

Une théorie \blue \mathfrak T' est dite plus forte qu'une théorie \blue \mathfrak T si :
Tous les signes de \blue \mathfrak T sont des signes de \blue \mathfrak T'
Tous les axiomes explicites de \blue \mathfrak T sont des théorèmes de \blue \mathfrak T'
Tous les schémas de \blue \mathfrak T sont des schémas de \blue \mathfrak T'
C4
Si une théorie \blue \mathfrak T' est plus forte qu'une théorie \blue \mathfrak T, alors tous les théorèmes de \blue \mathfrak T sont des théorèmes de \blue \mathfrak T'

Par exemple : si \blue \mathfrak E est la théorie des ensembles, \blue \mathfrak G la théorie des groupes et \blue \mathfrak V la théorie des espaces vectoriels. Alors : \blue \mathfrak V est plus forte que \blue \mathfrak G qui est plus forte que \blue \mathfrak E
C5
Soient \blue \mathfrak T une théorie et soient :
\blue (\mathbf A_i)_{i \in [[1,n]] ses axiomes explicites.
\blue (\mathbf a_i)_{i \in [[1,k]] ses constantes.
\blue (\mathbf T_i)_{i \in [[1,k]] des termes de \blue \mathfrak T.

On suppose que :
pour tout \blue i \in [[1, n]], \blue (\mathbf T_1|a_1)(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathbf A_i soient des théorèmes d'une théorie \blue \mathfrak T'
Les signes de \blue \mathfrak T soient des signes de \blue \mathfrak T'
Les schémas de \blue \mathfrak T soient des schémas de \blue \mathfrak T'

Alors, si \blue \mathbf \theta est un théorème de \blue \mathfrak T, alors \blue (\mathbf T_1|a_1)(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathbf \theta est un théorème de \blue \mathfrak T'

En effet, \blue \mathfrak T' est plus forte que \blue (\mathbf T_1|a_1)(\mathbf T_2|a_2)...(\mathbf T_k|a_k)\mathfrak T, et il suffit d'appliquer C2 et C4.

Quand on déduit, par ce procédé, un théorème de \blue \mathfrak T' d'un théorème de \blue \mathfrak T, on dit qu'on applique dans \blue \mathfrak T' les résultats de \blue \mathfrak T

N.B. : sous les hypothèses de C5, si la théorie \blue \mathfrak T s'avérait contradictoire, il en serait de même de \blue \mathfrak T'. Par exemple, si la théorie des ensembles était contradictoire, il en serait de même de la théorie des groupes.
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